contrôle du 20 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $\sin t+\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=0$.

   $$\begin{array}{ccc}\sin t+\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=0& \iff & \sin t=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\hfill \\ & \iff & \sin t=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\hfill \end{array}$$ Sur le cercle trigonométrique, on place les deux points M et M' de même ordonnée symétriques par rapport à l'axe des ordonnées tels que $\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=\sin \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ Donc $t=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2k\pi$ ou $t=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

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2. $\cos \left(t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$.

   Sur le cercle trigonométrique, on place les deux points N et N' de même abscisse symétriques par rapport à l'axe des abscisses tels que $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ Donc $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{c}t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2k\pi \\ t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2k\pi \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi \\ t=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2k\pi \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}t={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+2k\pi \\ t=-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+2k\pi \end{array}\end{array}$$ Ainsi, $t={\displaystyle \frac{\pi }{12}}+2k\pi$ ou $t=-{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

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