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%
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% en-tête

% en-tête
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :	
\begin{enumerate}
	\item $2x^2+3x-2=0$
		\item $5x^2-9x+3=-4x^2+3x-1$
\end{enumerate}
			\item Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :	
\begin{enumerate}
	\item $-6x^2-x+2 \leqslant 0$
		\item $4x^2 < 8x-3$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $u$ une fonction définie sur $\left]-\infty ; -2\right[\cup\left]-2 ; +\infty \right[$ dont le tableau des variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(16,2.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16,2.6)
\psline(3,0)(3,2.6)
\psline (0,1.8)(16,1.8)\psline (9.4,0)(9.4,1.8) \psline (9.6,0)(9.6,1.8)
\rput(1.5,2.2){$x$} \rput(3.5,2.2){$- \infty$} \rput(6.3,2.2){$-3$} \rput(9.5,2.2){$-2$}\rput(12.6,2.2){$1$} \rput(15.5,2.2){$+ \infty$}
\rput(1.5,.9){variations de $u$} \rput(3.5,1.4){\rnode{A}{}}\rput(6.3,0.4){\rnode{B}{$-1$}} \rput(9.2,1.4){\rnode{C}{}} \rput(9.7,0.4){\rnode{D}{}} \rput(12.6,1.4){\rnode{E}{$2$}}\rput(15.5,0.4){\rnode{F}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncline{D}{E} \ncline{E}{F}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Dresser le tableau des variations des fonctions $f : x \longmapsto u(x+3)$  et  $g : x \longmapsto u(x)+1$.	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $u$ la fonction définie sur l'intervalle $[-4;4]$  dont la courbe représentative $C_u$ dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-12)(14,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-12)(14,14)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-6)(7,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\psline [linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-4,-3)(-2,-5)(-1,1)(1,-1)(3,3)(4,-3)
\end{pspicture}
\end{center}

Tracer les courbes représentatives des fonctions $f \colon x \longmapsto u(x)+3$  et  $g \colon x \longmapsto u(x-2)$.	
	
 \pagebreak 

\exo 

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer la dérivée $f'(x)$.

\begin{enumerate}
		\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=\dfrac{3}{2}x^3-3x^2+x-\dfrac{1}{2}$.
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{3}{x}+1$.
\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{3}{x^2}+1$.
\item $f$ est définie sur $\R$  par $f(t)=2\sin t + 3\cos t$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
	\item $f_1$ est la fonction définie sur  $\R$ par $f_1(x)=1-\dfrac{2}{x^2+1}$.
	\item $f_2$ est la fonction  définie sur $\R$  par $f_2(x)=\dfrac{3x^2-2x+3}{x^2-x+1}$.
	\item $g_1$ est la fonction  définie sur $]0;+\infty[$  par $g_1 (x) =  \left( 1-x^2 \right)\left( 2+ \dfrac{1}{x}\right)$. 
	\item $g_2$ est la fonction  définie sur $]0;+\infty[$  par $g_2 (x)=\left(x+1\right) \sqrt{x}$.	
	\item $h$ est la fonction  définie sur $]0;\pi[$  par $h(t)=\dfrac{\cos t}{\sin t}$.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x > 0$ par $f(x)= \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{2}{x}$. 

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 2.

 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip 
 
On a représenté ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à la courbe aux points $A$, $B$ et $C$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-6)(16,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{18/(x^2-2*x+4)-3}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-6)(16,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(8,4)
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}\uput[dl](8,0) {$x$}\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{8}{\f}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(0,0)(-4,-3)\psline(.25,3)(1.75,3)\psline(2.5,-.375)(5.5,-2.625)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu,dotscale=.8] (-2,-1.5)(1,3)(4,-1.5)
\uput[dl](8,-2){\bleu{$C_f$}}\uput[dr](-2,-1.5){\footnotesize{\prune{$A$}}}\uput[u](1,3){\footnotesize{\prune{$B$}}} \uput[dl](4,-1.5){\footnotesize{\prune{$C$}}} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement  $f' \left( 1 \right)$.
\item Déterminer graphiquement  $f' \left( -2 \right)$.
\item La tangente à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $C$ d'abscisse 4 a pour équation $y= - \dfrac{3}{4}x + b$. 

Quelle est la valeur de $f' \left( 4 \right)$ ? En déduire la valeur du réel $b$.

\end{enumerate}
 
\end{document}
