\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}} \right)}}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma
%
\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{22 décembre 2012}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} STI2D \\Durée 2 heures}}} %droit
%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.

\begin{itemize}
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A (- 2 ; 0)$, $B (1 ; 1)$, $C (4 ; 3,2)$ et $D \left( \dfrac{11}{2} ; \dfrac{25}{16} \right)$. 
	\item[] L'axe des abscisses est tangent en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$.  
	\item[] La tangente à la courbe au point $B$ passe par le point $M \left( -4 ; -3 \right)$.
\end{itemize}


 
\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-12,-6)(14,8) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)^3*(6-x)/135}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-6)(14,8) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5.3}{6.63}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,-.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3.25,3.2)(4.75,3.2)
\psdots [linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,0)(1,1)(4,3.2)(5.5,1.5625)
\uput[ul](-5.4,-3){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](-2,0){\bleu{$A$}}
\uput[ul](1,1){\bleu{$B$}}
\uput[u](4,3.2){\bleu{$C$}}
\uput[ur](5.5,1.5){\bleu{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\`A partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
	\item Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item Déterminer $f'(-2)$, $f'(4)$ et $f'(1)$.
	\item Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ ?
	\item On donne $f'(5,5)= -2,5$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe 	$\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ avec l'axe des ordonnées.
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)^2*(2+x)/32}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill	
	\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)*(2+x)/4}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(16-4*x)*(x+2)^2/135}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

 \pagebreak
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-2x+5}$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x)=\dfrac{ -2x^2-2x+12}{\left(x^2-2x+5\right) ^2}$
	\item
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$. (\textit{Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum}).
\end{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.  
	
	Tracer la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(18,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*x+1)/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-4)(18,10)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.5)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,1.25){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0,.25)(2,1.25)
\uput[dl](6,0.62){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate}

 \pagebreak

\exo 

 \medskip
  
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ - \pi ; \pi \right]$ par $f(x) = 2 \sin x -\sin\left(2x\right)$. 

\begin{enumerate}	
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Résoudre dans l'intervalle $\left[ - \pi ; \pi \right]$ l'équation $f'(x) =0$.
		\item On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle  $\left[ - \pi ; \pi \right]$.
		 
		 \`A l'aide du graphique, déterminer le signe de $f'(x)$.
		 
		 	\medskip
		
		\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-5)(7,4) 
\psset{xunit=1.9098593cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,trigLabels=true,trigLabelBase=3,dx=1.04719755,xunit=\psPi,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.167,-5)(1.167,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.7,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[linecolor=prune,linewidth=1.25pt,plotpoints=800]{-\psPi}{\psPi}{x RadtoDeg cos 2 mul x RadtoDeg 2 mul cos 2 mul sub}
%\psplot[linecolor=bleu,linewidth=1.5pt,plotpoints=1000]{-\psPi}{\psPi}{x RadtoDeg sin 2 mul x RadtoDeg 2 mul sin  sub}
\end{pspicture}
\end{center}
	
\end{enumerate}

	
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ -\pi ; \pi \right]$
 \item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$  au point d'abscisse $-\dfrac{\pi}{2}$. 
 
 Tracer la droite $T$ dans le repère précédent.
 	
  \item Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ - \pi ; \pi \right]$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}


\end{document}
