contrôles en première sti2d

contrôle du 22 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=2x+1x2-2x+5.
On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Calculer la dérivée de la fonction f. Vérifier que f(x)=-2x2-2x+12(x2-2x+5)2.

    f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x : {u(x)=2x+1 d'où u(x)=2 et v(x)=x2-2x+5 d'où v(x)=2x-2

    Soit pour tout réel x, f(x)=2×(x2-2x+5)-(2x+1)×(2x-2)(x2-2x+5)2=2x2-4x+10-(4x2-4x+2x-2)(x2-2x+5)2=-2x2-2x+12(x2-2x+5)2

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par f(x)=-2x2-2x+12(x2-2x+5)2.


    1. Étudier le signe de f(x).

      Pour tout réel x, (x2-2x+5)2>0. Donc f(x) est du même signe que le polynôme du second degré -2x2-2x+12 avec a=-2, b=-2 et c=12.
      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=4+96=100

      Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=2-10-4=2etx2=-b+Δ2aSoitx2=2+10-4=-3

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x :

      x- −3 2 +
      Signe de f(x) 0||+0|| 
    2. En déduire le tableau des variations de la fonction f. (Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum)

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f :

      x- −3 2 +
      Signe de f(x) 0||+0|| 
      Variations de f fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      −0,25

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      calcul des extremum :

      • La fonction f admet un minimum relatif en -3 et f(-3)=-6+19+6+5=-14=-0,25

      • La fonction f admet un maximum relatif en 2 et f(2)=4+14-4+5=1

  2. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1.
    Représenter la tangente T sur le graphique ci-dessous.

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation : y=f(1)(x-1)+f(1)

    Or f(1)=2+11-2+5=34etf(1)=-2-2+12(1-2+5)2=12

    D'où une équation de la tangente T :y=12×(x-1)+34y=x2+14

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1 a pour équation y=0,5x+0,25.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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