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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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%
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{02 février 2013}}}} %gauche
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%pied de page
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

  
\begin{document}
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{4x-3}{x^2+1}$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

\medskip

La courbe représentative de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-10)(16,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x-3)/(x^2+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-10)(16,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(8,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\uput[ul](8,0.5){\textcolor{bleu}{\small $\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.75,1)(3.25,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

 \item Par lecture graphique, déterminer $f(2)$ et $f'(2)$.
	 \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec les axes du repère.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{ -4x^2+6x+4}{\left(x^2+1\right) ^2}$
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$. (\textit{Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum}).
\end{enumerate}
	\item 
	
\begin{enumerate}
\item Donner une équation des  tangentes $d_1$ et $d_2$ à la courbe $\mathcal{C}_f$  aux points d'abscisses respectives  $-3$ et $-\dfrac{1}{2}$. 
		\item Tracer les tangentes $d_1$ et $d_2$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Les deux questions suivantes sont indépendantes.		
	
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie  pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= 16 \times 0,5^n -1$. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer  $u_4$.
\item Étudier la monotonie de la suite $\left( u_n \right)$
\end{enumerate}
\item  $\left( v_n \right)$ est la suite définie  par $v_0 =-6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= v_n+\dfrac{3}{4}$. Calculer  $v_8$ et $v_{12}$.
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q > 0$  telle que $u_{4} =48$,  $u_{6} = \dfrac{64}{3}$. 
	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la raison $q$ de cette suite.
	\item Calculer $u_{10}$.
	\item Exprimer le terme général de la suite  $(u_n)$  en fonction de $n$.
	\item Calculer la valeur exacte de la somme $S= u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$
\end{enumerate}

 \pagebreak 

\exo

 \medskip 

Soit $(u_n)$ la suite définie par  $u_0 = -3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{3}{5}\times u_n + 4$.

\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$  est-elle géométrique ?
\item 
\begin{enumerate}
	\item Dans le repère donné en annexe  ci-dessous, tracer la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{3x}{5}+4$ et la droite $\mathrm{\Delta}$ d'équation $y=x$.
	\item Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites $\mathcal{D}$ et $\mathrm{\Delta}$, placer sur l'axe des abscisses les cinq termes suivants de la suite  $(u_n)$  (\emph{laisser apparents les traits de construction}).
	\item Conjecturer le sens de variation de la suite  $(u_n)$. 
\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\textsf{\begin{tabularx}{.4\linewidth}{|X|}\hline 
$U=-3$ \\
$k=0$ \\
 Tant{\_}que $U < 9,999$\\
\begin{tabular}{l|l}
~~& $k$ prend la valeur $k+1$\\
~~&$U$ prend la valeur $0,6 \times U+4$\\
\end{tabular}\\
Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie : Afficher $k$\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center} 

Programmer cet algorithme sur calculatrice et interpréter le résultat.

\end{enumerate}

 \bigskip
  
 \begin{center}

\textsf{\small{\textsc{\textbf{annexe}}}}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(24,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(24,22)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(12,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
