contrôles en première sti2d

contrôle du 06 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Le pentagone ABCDE est inscrit dans le cercle trigonométrique 𝒞.

pentagone ABCDE : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À quels réels de l'intervalle ]-π;π] sont associés les sommets de ce pentagone ?

    Le pentagone ABCDE est inscrit dans le cercle trigonométrique 𝒞 par conséquent, la longueur de chacun des arcs AB, BC, CD, DE ou EA est égale à 2π5.

    Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :

    • Le point A est l'image du réel π2.

    • Le point B est l'image du réel π2+2π5=9π10.

    • Le point E est l'image du réel π2-2π5=π10.

    • Le point D est l'image du réel π10-2π5=-3π10.

    • Le point C est l'image du réel -3π10-2π5=-7π10.

    Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, les sommets pentagone ABCDE sont respectivement associés aux réels π2, 9π10, -7π10, -3π10 et π10.


  2. On donne sin(9π10)=5-14. Calculer cos(9π10). En déduire les coordonnées des points B et E.

    • Pour tout réel x, cos2x+sin2x=1, donc cos2(9π10)+sin2(9π10)=1cos2(9π10)=1-(5-14)2cos2(9π10)=1-(5-25+116)cos2(9π10)=16-6+2516cos2(9π10)=10+2516

      Comme 9π10]π2;π[, il s'ensuit que cos(9π10)<0. Donc cos(9π10)=-10+2516=-10+254.

      Ainsi, cos(9π10)=-10+254


    • Les coordonnées du point B sont B(cos9π10;sin9π10)

      Le point B a pour coordonnées B(-10+254;5-14)


    • Les coordonnées du point C sont C(cosπ10;sinπ10). Or π10=π-9π10, donc :cosπ10=-cos(9π10)=10+254etsinπ10=sin(9π10)=5-14

      Le point C a pour coordonnées C(10+254;5-14)


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