contrôles en première sti2d

contrôle du 29 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 3

ABC est un triangle rectangle en A tel que $A B = 6$ et $B C = 8$ .
H est le point du segment [BC] tel que $A H = 6$ . La droite (HK) est perpendiculaire à la droite (AC).

Calculer les produits scalaires suivants :

$\vec{A B} . \vec{A C}$
ABC est un triangle rectangle en A d'où : $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . \vec{A B} = {A B}^{2} = 6^{2} = 36$
$\vec{A B} . \vec{A C} = 36$ .
$\vec{C A} . \vec{C K}$
La droite (HK) est perpendiculaire à la droite (AC) d'où : $\vec{C A} . \vec{C K} = \vec{C A} . \vec{C H}$
ABC est un triangle rectangle en A d'après le théorème de Pythagore : ${A C}^{2} = {A B}^{2} + {B C}^{2} = 36 + 64 = 100$
D'où $A C = 10$ et $H C = 10 - 6 = 4$
Ainsi, $\vec{C A} . \vec{C K} = \vec{C A} . \vec{C H} = C A \times C H = 10 \times 4 = 40$
$\vec{C A} . \vec{C K} = 40$ .
$\vec{H A} . \vec{H C}$ .
$\vec{H A} . \vec{H C} = - H A \times H C = - 6 \times 4 = - 24$
$\vec{H A} . \vec{H C} = - 24$ .
$\vec{A K} . \vec{A C}$
Comme la droite (HK) est perpendiculaire à la droite (AC) alors, $\vec{A K} . \vec{A C} = \vec{A H} . \vec{A C} = A H \times A C = 6 \times 10 = 60$
$\vec{A K} . \vec{A C} = 60$ .

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