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%
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  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{05 mars 2015}}}} %gauche
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%pied de page
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}
  
 \exo

\medskip 

\textsf{\textbf{\textsc{partie a :}} Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(3;1)$  est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-4)(18,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x-1)/(x^2-2*x+8)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-4)(18,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-1)(9,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,1.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7}{9}{\f}
\uput[ul](9,.5){\textcolor{bleu}{\small $\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(2,1)(4,1)
\uput[u](3,1){\textcolor{bleu}{\small $A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.  (\emph{Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée}).
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $f'(3)$.
\item Déterminer le signe de $f'(-1)$ et de $f'(6)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b :}}  Étude d'une fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par  $f(x)=\dfrac{4x-1}{x^2-2x+8}$. 

\begin{enumerate}
	 \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec les axes du repère.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-4x^2+2x+30}{\left(x^2-2x+8\right)^2}$
	\item Étudier le signe du polynôme $g(x)=-4x^2+2x+30$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$. (\textit{Indiquer dans le tableau de variation, les valeurs exactes des extremum}).
\end{enumerate}
	\item  Le point $B(2;1)$ appartient-il à la  tangente $T$  à la courbe $\mathcal{C}_f$  au point d'abscisse 1 ?
 
 Tracer la tangente $T$  dans le repère précédent.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $\left( u_n \right)$ la suite définie par $u_0 =3$ et pour pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{u_n}{2} -\dfrac{1}{2}$. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer  $u_3$.
\item Soit $\left( v_n \right)$ la suite définie  pour tout entier naturel $n$ par $v_n= u_n +1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= \dfrac{1}{2}\left({u_n +1} \right)$. En déduire que  $\left( v_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que la suite $\left( u_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}= 4 \times 0,5^n -1$.
\end{enumerate}
\item Étudier la monotonie de la suite $\left( u_n \right)$.
\end{enumerate}

 \pagebreak
 
\exo

 \medskip 

La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=10$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes  de $u_1$ à $u_N$ de la suite pour un entier $N$ saisi par l'utilisateur.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.5em]{
\begin{minipage}{6cm}
\footnotesize{
$U$ prend la valeur 10

Pour $I$ variant de 1 à $N$

\hspace{1em} $U$ prend la valeur $-0,05\times U^2 -\dfrac{U}{3}+6$

Fin Pour
}
\end{minipage}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\end{enumerate}	
 
\item  On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= -0,05{x^2} -\dfrac{x}{3}+6$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
	
On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de  la suite $\left(u_n \right)$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-6)(22,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-6)(22,16)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-3)(11,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\def\f{.05 neg x dup mul mul x 3 div sub  6 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-5}{10.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](-3,-3)(8,8)
\def\fct{.05 neg xUn dup mul mul xUn 3 div sub  6 add}% 
\pstVerb{/xUn 10 def}% u0 
\psset{linecolor=prune,linewidth=1pt,linestyle=dashed}
\uput[dr](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{0}$}}}
\psdot(! xUn \fct )
\psline{->}(! xUn 0 )(! xUn \fct )
\psline{->}(! xUn \fct )(! \fct\space dup)
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\psline{->}(! xUn xUn)(! xUn 0)
\uput[dl](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{1}$}}}
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Construire sur l'axe des abscisses les termes  $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.
	\item La suite $\left(u_n \right)$ est-elle monotone ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
