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%
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% en-tête
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\begin{document}
  
 \exo

\medskip
 
Un fabriquant de lentilles  hydrophiles a constaté à l'issue de la fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts :  un rayon de courbure défectueux ou une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On admet que dans cette production, 8\% des lentilles ont un rayon de courbure défectueux, 7\%  des lentilles ont une perméabilité à l'oxygène défectueuse, et 12\,\% des lentilles présentent au moins un des deux défauts.

On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note :

\begin{itemize}
\item $C$ l'évènement \og la lentille a un rayon de courbure défectueux \fg{} ;
\item $I$ l'évènement \og la lentille a une perméabilité à l'oxygène défectueuse \fg{}.
 \end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase l'évènement $C\cup I$. Donner la probabilité de l'évènement  $C\cup I$.
\item Calculer la probabilité de l'évènement  \og une lentille prélevée au hasard présente les deux défauts \fg.
\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de qualité de ces lentilles avant leur mise en vente.

Dans le stock de lentilles commercialisées par l'entreprise, on admet que 3\,\% des lentilles mises en vente après ce contrôle sont défectueuses.

Les lentilles sont vendues par lot de 100 pièces. Le stock est suffisamment important pour assimiler un lot à un tirage aléatoire avec remise. 
 
Pour un lot de 100 lentilles, on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lentilles défectueuses. 
	\begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
		\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat.  
		\item Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs des probabilités $P\left(X \leqslant  k\right)$, où $k$ désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $[0~;100]$.
 
 \begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{3}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}} \hhline{-|-||-|-||-|-}
$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$&$k$&$P\left(X \leqslant  k\right)$\\ \hhline{-|-||-|-||-|-}	
0&\np{0,047553}&4&\np{0,817855}&8&\np{0,996784}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
1&\np{0,194622}&5&\np{0,919163}&9&\np{0,999126}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
2&\np{0,419775}&6&\np{0,968772}&10&\np{0,999785}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
3&\np{0,647249}&7&\np{0,989376}&11&\np{0,999952}\\  \hhline{-|-||-|-||-|-}
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice, déterminer :
\begin{enumerate}
\item la probabilité qu'au moins une lentille du lot a un défaut ;
\item la probabilité de trouver trois lentilles qui ont un défaut ;
\item $P\left(1 \leqslant X \leqslant  7 \right)$, la probabilité  que le nombre de lentilles défectueuses dans un lot de 100 soit compris entre 1 et 7.
\end{enumerate}
\item Un client achète un lot de 100 lentilles. Après réception, ce client  trouve 10 lentilles défectueuses.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de la fréquence de lentilles défectueuses dans un échantillon de taille 100.
 \item Le lot acheté par ce client est-il représentatif des lots mis en vente ? 
 \end{enumerate}
	\end{enumerate} 

\bigskip

 \exo 
 
\medskip

Écrire sous la forme algébrique $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants :

\begin{enumerate}
\item $z_1=\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\left(1-\mathrm{i}\sqrt{3}\right)$.
\item $z_2=\dfrac{3\mathrm{i}}{\sqrt{2}-\mathrm{i}}$.
\item $z_3$ de module $\lvert {z_3} \rvert = 2\sqrt{2}$ et d'argument $\mathrm{arg}\left({z_3}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$.
\end{enumerate}

\bigskip 
	
\exo

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv{} donné en annexe ci-dessous. 

Soient $A$, $B$ et $C$ les points dont les affixes respectives sont $z_{A} = 1+ \mathrm {i}\sqrt{3}$,  $z_{B}=-z_{A}$ et  $z_{C}={z_{A}}^2$.

 
\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture algébrique de $z_{B}$ et $z_{C}$. 
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes $z_{A}$, $z_{B}$ et $z_{C}$.  
 \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère \Ouv{}.
 \end{enumerate}
 \item Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation d'inconnue $z$ : $\mathrm{i} z=\sqrt{3}+\mathrm{i}$. On notera $z_D$ la solution de l'équation que l'on écrira sous sa forme algébrique.
\item \begin{enumerate}
\item Placer dans le repère \Ouv{} les points $D$ d'affixe $z_D$ et $E$ d'affixe $z_E = \overline{z_{B}}$.
\item Les points $C$, $D$ et $E$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\medskip

\begin{center}
\textsf{\textbf{{\textsc{annexe}}}}


\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-9)(9,9.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-9)(9,9)
\psset{unit=1cm}
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\uput[d](.5,0){\prune $\vec u$} \uput[l](0,.5){\prune $\vec v$}
\uput[dl](0,0){0}
{\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed}
\multido{\r=1+1}{4}{%
\pscircle(0,0){\r} 
}
}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

 \exo 
 
\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par  $f(x)=1-\dfrac{2x+1}{2x^2+3}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que pour tout réel $x$,  $f'(x)=\dfrac{4x^2+4x-6}{\left(2x^2+3\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item Étudier le signe du polynôme  $P(x)=2x^2+2x-3$.
\item En déduire les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $A$ d'abscisse $0$. 
\end{enumerate}

\end{document}
