sujet : France métropolitaine septembre 2013

correction de l'exercice 4

partie a : Étude d'une fonction numérique

1. Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $f\left(x\right)=80-20{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.

   • $f\left(0\right)=80-20{\mathrm{e}}^0=60$

   • $f\left(30\right)=80-20{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}\times 30}\approx \mathrm{37,66}$

   • f est dérivable et, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$ : $$f\prime \left(x\right)=-20\times \left(\mathrm{0,025}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}$$

     Or pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}>0$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;60\right]$, $-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}<0$.

     $f\prime \left(x\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

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   Ainsi, la fonction f vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.

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2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10⁻¹ près par excès du réel a qui vérifie $f\left(a\right)=0$.
   Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

   La valeur décimale approchée à 10⁻¹ près par excès du réel a qui vérifie $f\left(a\right)=0$ est 55,5 donc OA ⩽ 60.

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partie b : Calcul d'intégrale et application

1. 1. La fonction F est définie sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $F\left(x\right)=80x-800{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}$.
      Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

      Une primitive F de la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $$F\left(x\right)=80x-{\displaystyle \frac{20}{\mathrm{0,025}}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}=80x-800{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}$$

      La fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ par $F\left(x\right)=80x-800{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}x}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$.

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   2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{55,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;60\right]$ d'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{55,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{55,5}\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& 80\times \mathrm{55,5}-800\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,025}\times \mathrm{55,5}}-\left(-800\times {\mathrm{e}}^0\right)\hfill \\ & =& 5240-800\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{1,3875}}\hfill \end{array}$$

      $J={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{55,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=5240-800\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{1,3875}}$

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   3. Donner la valeur approchée, arrondie à 10⁻² près de J.

      La valeur approchée, arrondie à 10⁻² près de J est 2036,14.

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2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.

   1. Déterminer à 10⁻² près l'aire de cette surface exprimée en m².

      L'intégrale $J={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{55,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en mètre carré, l'aire du domaine compris entre l'arc $\stackrel{⏜}{\mathrm{S}\mathrm{A}}$ et les axes du repère. La façade avant étant symétrique par rapport au segment vertical [OS], l'aire de cette surface exprimée en mètre carré est $2\times J$

      L'aire de cette surface est d'environ 4072,28 m².

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   2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?

      $${\displaystyle \frac{\mathrm{4072,28}}{68\times \mathrm{0,2}}}\approx \mathrm{299,4}$$

      300 bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant.

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