Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine septembre 2013

correction de l'exercice 4

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable.
La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30 m.
L'arc SA de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle 060, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre.

Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

  • OS = 60 ;
  • HK > 35 ;
  • la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle 060 ;
  • OA ⩽ 60.

partie a : Étude d'une fonction numérique

  1. Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle 060 par fx=80-20e0,025x vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.

    • f0=80-20e0=60

    • f30=80-20e0,025×3037,66

    • f est dérivable et, pour tout réel x de l'intervalle 060 : fx=-20×0,025e0,025x=-0,5e0,025x

      Or pour tout réel t, e0,025x>0 donc pour tout réel x de l'intervalle 060, -0,5e0,025x<0.

      fx<0 donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle 060.


    Ainsi, la fonction f vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.


  2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10−1 près par excès du réel a qui vérifie fa=0.
    Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

    La valeur décimale approchée à 10−1 près par excès du réel a qui vérifie fa=0 est 55,5 donc OA ⩽ 60.


partie b : Calcul d'intégrale et application

    1. La fonction F est définie sur l'intervalle 060 par Fx=80x-800e0,025x.
      Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 060.

      Une primitive F de la fonction f est définie sur l'intervalle 060 par Fx=80x-200,025×e0,025x=80x-800e0,025x

      La fonction F définie sur l'intervalle 060 par Fx=80x-800e0,025x est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 060.


    2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale J=055,5fxdx.

      F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle 060 d'où 055,5fxdx=F55,5-F0=80×55,5-800×e0,025×55,5--800×e0=5240-800×e1,3875

      J=055,5fxdx=5240-800×e1,3875


    3. Donner la valeur approchée, arrondie à 10−2 près de J.

      La valeur approchée, arrondie à 10−2 près de J est 2036,14.


  1. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.

    1. Déterminer à 10−2 près l'aire de cette surface exprimée en m2.

      L'intégrale J=055,5fxdx mesure en mètre carré, l'aire du domaine compris entre l'arc SA et les axes du repère. La façade avant étant symétrique par rapport au segment vertical [OS], l'aire de cette surface exprimée en mètre carré est 2×J

      L'aire de cette surface est d'environ 4072,28 m2.


    2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?

      4072,2868×0,2299,4

      300 bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant.



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