Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie septembre 2013

correction de l'exercice 1

La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par $u_{n + 1} = 0,4 u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$ .

partie a

À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$ . On obtient les résultats suivants :

A B C D E F G H I J K L

1 Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 Valeur de $u_{n}$ $- 1$ 2,6 4,04 4,616 4,8464 4,9386 4,9754 4,9902 4,9961 4,9984 4,9994

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

a. $= {0,4}^{n} + 3$ b. $= $B$ 2 * 0,4 + 3$ c. $= B 2 * 0,4 + 3$ d. $= 0,4^C 1 + 3$

La formule qu'il faut saisir dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 est la formule c : $= B 2 * 0,4 + 3$
Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $(u_{n})$ ?

La suite $(u_{n})$ semble converger vers 5.

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	p et n sont des entiers naturels, u est un nombre réel
Entrée :	saisir la valeur de p
Initialisation :	n prend la valeur 0, u prend la valeur $- 1$
Traitement :	Tant que $\| u - 5 \| > 10^{- p}$ n prend la valeur n + 1 u prend la valeur $0,4 u + 3$ Fin du Tant que
Sortie	Afficher la valeur de n

À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$ .

La première valeur telle que $| u_{n} - 5 | ⩽ 0,01$ est $u_{7} = 4,9902$

La valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$ est 7.

partie b

On étudie maintenant la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = 6 \times {(0,4)}^{n}$ .

Donner la nature de la suite $(v_{n})$ et ses éléments caractéristiques.

Pour tout entier naturel n, $v_{n} = 6 \times {(0,4)}^{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_{0} = 6$ .
Déterminer la limite de $(v_{n})$ quand n tend vers + ∞.

$0 < 0,4 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,4}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 6 \times {0,4}^{n} = 0$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ .
On admet que pour tout entier naturel n : $u_{n} = 5 - v_{n}$ . Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Pour tout entier naturel n, $u_{n} = 5 - 6 \times {0,4}^{n}$ d'où $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 5$ .
1. Déterminer en fonction de n la somme $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ .
  
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme $v_{0} = 6$ donc $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = 6 \times \frac{1 - {0,4}^{n + 1}}{1 - 0,4} = 10 \times (1 - {0,4}^{n + 1}) = 10 - 4 \times {0,4}^{n}$
  
  Pour tout entier naturel n, $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = 10 - 4 \times {0,4}^{n}$
2. En déduire en fonction de n la somme $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ .
  
  Pour tout entier naturel n, $u_{n} = 5 - v_{n}$ d'où $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = 5 \times (n + 1) - (v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}) = 5 \times (n + 1) - (10 - 4 \times {0,4}^{n}) = 5 n - 5 + 4 \times {0,4}^{n}$
  
  Pour tout entier naturel n, $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = 5 n - 5 + 4 \times {0,4}^{n}$

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	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1	Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	Valeur de $u_{n}$	$- 1$	2,6	4,04	4,616	4,8464	4,9386	4,9754	4,9902	4,9961	4,9984	4,9994