Baccalauréat technologique 2014 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2014

correction de l'exercice 2

« En 2009, les Français ont en moyenne produit 374 kg de déchets ménagers par habitant. »
Source Ademe

Le maire d'une commune de 53700 habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit 23000 tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
Cela permit à la ville d'atteindre 400 kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5 % par an pendant 5 ans.

  1. Justifier la déception du maire en 2009.

    En 2009, la quantité moyenne (en kg) de déchets ménagers produite par habitant était :23000×100053700438

    En 2009, les habitants de cette commune ont en moyenne produit 438 kg de déchets ménagers par habitant, d'où la déception du maire.


  2. On note d0=400. Pour tout nombre entier naturel non nul n, on note dn la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année 2011 + n.

    1. Montrer que d1=0,985d0.

      À partir de 2011, la quantité de déchets ménagers produite par habitant est réduite de 1,5 % par an pendant 5 ans d'où : d1=400×(1-1,5100)=400×0,985=0,985d0

      Ainsi, d1=0,985d0.


    2. Déterminer la nature de la suite (dn). Exprimer dn en fonction de n puis calculer la limite de la suite (dn).

      • Pour tout nombre entier naturel n, dn+1=0,985dn donc (dn) est une suite géométrique de raison 0,985.


      • (dn) est une suite géométrique de raison 0,985 et de premier terme d0=400 donc pour tout entier n, dn=400×0,985n.


      • 0<0,985<1 donc limn+0,985n=0 d'où, limn+400×0,985n=0. Soit limn+dn=0 donc la suite (dn) converge vers 0.


    3. Quelle devrait être, à ce rythme là, la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?

      d3=400×(1-1,5100)=400×0,9853382

      Selon ce modèle, la production de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 est de 382 kg.


  3. On considère l'algorithme suivant :

    Les variables sont l'entier natuel N et le réel d

    initialisation :

    Affecter à N la valeur 0
    Affecter à d la valeur 400

    traitement :

    Tant que d>374
    Affecter à N la valeur N+1
    Affecter à d la valeur 0,985d
    Fin du Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    Donner la valeur affichée pour N et interpréter ce résultat.

    N est égal au plus petit entier n solution de l'inéquation 400×0,985n3740,985n374400ln(0,985n)ln0,935 La fonction  ln est strictement croissantenln0,985ln0,935Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnanln0,935ln0,985ln0,985<0


    Comme ln0,935ln0,9854,4, le plus petit entier que nln0,935ln0,985 est 5.

    La valeur affichée est N=5. C'est en 2016 que la quantité de déchets ménagers produite par habitant de cette ville sera inférieure à 374 kg.



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