sujet : Polynésie septembre 2014

correction de l'exercice 2

Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de 22000 €. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5 %.
Pour tout entier naturel n, on note $b_n$ le bénéfice prévu pour l'année $2013+n$, on a donc $b_0=22000$.

partie a

1. Calculer les bénéfices $b_1$ et $b_2$ espérés pour 2014 et 2015.

   $$\begin{array}{cc}& b_1=22000\times \left(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{100}}\right)=22990\\ \text{et}& b_2=22990\times \mathrm{1,045}=\mathrm{24024,55}\end{array}$$

   Les bénéfices espérés pour 2014 et 2015 sont respectivement de 22990 € et 24024,55 €.

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2. Montrer que $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.

   $b_0=22000$ et, pour tout entier naturel n, $b_{n+1}=\mathrm{1,045}\times b_n$ donc $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,045 et de premier terme 22000.

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3. Exprimer alors $b_n$ en fonction de n.

   $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,045 et de premier terme 22000 alors pour tout entier n, $b_n=22000\times {\mathrm{1,045}}^n$

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partie b

1. Expliquer à quoi correspondent les variables N et B.

   N est le nombre d'années écoulées depuis 2013 et B est le montant en euros du bénéfice prévu pour l'année $2013+N$.

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2. Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché.

   Le résultat affiché est 2027.

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3. Expliquer à quoi correspond cette valeur.

   C'est à partir de 2027 que le bénéfice sera supérieur à 40000 €.

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4. La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à 40000 €.

   1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation suivante :

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}22000\times {\mathrm{1,045}}^x>40000& \iff & {\mathrm{1,045}}^x>{\displaystyle \frac{40000}{22000}}\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{x\ln \mathrm{1,045}}>{\displaystyle \frac{20}{11}}\hfill \\ & \iff & x\ln \mathrm{1,045}>\ln {\displaystyle \frac{20}{11}}\hfill \\ & \iff & x>{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{20}{11}}}{\ln \mathrm{1,045}}}\hfill \end{array}$$

      L’ensemble des solutions de l’inéquation est l’intervalle $\left]{\displaystyle \frac{\ln 20-\ln 11}{\ln \mathrm{1,045}}};+\infty \right[$.

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   2. Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?

      L'algorithme de la question 2 permet de déterminer le rang N de l'année à partir de laquelle le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à 40000 €. N est le plus petit entier solution de l'inéquation $22000\times {\mathrm{1,045}}^x>40000$.

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      remarque :

      Comme ${\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{20}{11}}}{\ln \mathrm{1,045}}}\approx \mathrm{13,582}$, le plus petit entier N tel que $N>{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{20}{11}}}{\ln \mathrm{1,045}}}$ est $N=14$. On retrouve le réultat de la question 2.

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