sujet : France métropolitaine septembre 2015

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. On considère le nombre complexe $z=3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$. Le nombre complexe conjugué de z est égal à :

   Le conjugué de $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ est $\overline{z}=r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }$

   1. $z=-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   2. $z=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   3. $z=-3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   4. $z=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

2. La figure ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction f définie sur .$ℝ$.
   En notant I l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$, on a alors, en unités d'aire :

   La courbe représentative de la fonction f est située au dessus de l'axe des abscisses, donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=3$. Or cette aire peut être encadrée par l'aire d'un carré de côté 3 et l'aire d'un rectangle de longueur 4 et de largeur 3. D'où $$\begin{array}{ccc}{3}^2<{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<3\times 4& \text{soit}& 9<{\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<12\end{array}$$

   1. $1<I<3$

   2. $0<I<9$

   3. $9<I<12$

   4. $12<I<22$

3. La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction g définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\ln \left(x^2-2x+4\right)$.

   La courbe de la fonction dérivée de la fonction g est :

   Par lecture graphique :

   • Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$ la fonction g est décroissante donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;1\right]$, $g\prime \left(x\right)⩽0$.
   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ la fonction g est croissante donc pour tout réel $x⩾1$, $g\prime \left(x\right)⩾0$.

   La courbe 2 est la seule des quatre courbes qui peut convenir.

   a. courbe 1	b. courbe 2	c. courbe 3	d. courbe 4

4. La variable X suit la loi normale d'espérance 3 et d'écart type 6.
   La probabilité $P\left(X<3\right)$ vaut :

   La variable X suit la loi normale d'espérance 3 alors, $P\left(X<3\right)=\mathrm{0,5}$

   1. 3

   2. 0,5

   3. 0

   4. 0,997

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