En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.
Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand.
Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa). On rappelle que la pression atmosphérique vaut 1 013,25 hPa au niveau de la mer.
Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».
Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :
altitude (en mètre) | 0 | 800 | 1500 | 2000 |
pression atmosphérique (en hPa) | 1013,25 | 925,25 | 848,25 | 793,25 |
Pour tout entier naturel n, on note la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de n mètres calculée avec la règle simplifiée.
Ainsi .
Calculer et .
Ainsi, et .
Justifier que la suite n'est pas géométrique.
donc la suite n'est pas géométrique. est une suite arithmétique de raison et de premier terme .
On admet que pour tout entier naturel n, . En déduire l'altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.
On considère l'équation différentielle (E) : où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur et est la fonction dérivée de y.
Pour de faibles valeurs de l'altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction f qui, à l'altitude x en kilomètre, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie .
Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies pour tout réel x par où k est une constante réelle quelconque.
Démontrer que la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale est la fonction définie sur par : .
La condition équivaut à d'où
Ainsi, la fonction f est définie sur par .
En utilisant la fonction f :
Calculer une valeur approchée à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude.
et,
Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.
Calculer l'altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa.
L'altitude x en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation . Soit :
Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.
On pose , pour tout entier naturel n. Justifier qu'avec ce modèle, la suite est géométrique.
Pour tout entier naturel n :
Pour tout entier naturel n on a donc est une suite géométrique de raison .
La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes.
Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction p qui à l'altitude x en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : .
Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l'unité) au sommet de l'Everest dont l'altitude est 8848 mètres.
Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.
Recopier et compléter l'algorithme suivant en utilisant la fonction p, de façon à ce qu'il calcule l'altitude (estimée à 100 mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa.
Tant que
Fin Tant que
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