Baccalauréat technologique 2017 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 2

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.
Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand.
Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente.
Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa). On rappelle que la pression atmosphérique vaut 1 013,25 hPa au niveau de la mer.

partie a : Étude algébrique

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : « la pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre ».

  1. Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :

    altitude
    (en mètre)
    080015002000
    pression atmosphérique
    (en hPa)
    1013,25925,25848,25793,25
  2. Pour tout entier naturel n, on note un la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de n mètres calculée avec la règle simplifiée.
    Ainsi u0=1013,25.

    1. Calculer u1 et u2.

      u1=1013,25-0,11×1=1013,14etu2=1013,25-0,11×2=1013,03

      Ainsi, u1=1013,14 et u2=1013,03.


    2. Justifier que la suite (un) n'est pas géométrique.

      u1u0=1013,141013,25;u2u1=1013,031013,14et1013,1421013,25×1013,03

      u1u0u2u1 donc la suite (un) n'est pas géométrique. (un) est une suite arithmétique de raison r=-0,11 et de premier terme u0=1013,25.


    3. On admet que pour tout entier naturel n, un=u0-0,11n. En déduire l'altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.

      On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation :1013,25-0,11n<950-0,11n<-63,25n>575

      Au dessus de 575 mètres, la pression atmosphérique est inférieure à 950 hPa.


partie b : La formule barométrique

On considère l'équation différentielle (E) :y+0,12y=0y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur et y est la fonction dérivée de y.
Pour de faibles valeurs de l'altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction f qui, à l'altitude x en kilomètre, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie f(0)=1 013,25.

    1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E).

      Les solutions de l'équation différentielle y+0,12y=0 sont les fonctions définies pour tout réel x par x=ke-0,12xk est une constante réelle quelconque.


    2. Démontrer que la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0)=1 013,25 est la fonction définie sur [0;+[ par : f(x)=1 013,25e-0,12x.

      La condition f(0)=1013,25 équivaut à ke0=1013,25 d'où k=1013,25

      Ainsi, la fonction f est définie sur [0;+[ par f(x)=1013,25e-0,12x.


  1. En utilisant la fonction f :

    1. Calculer une valeur approchée à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude.

      150m=0,15km et, f(0,15)=1013,25×e-0,12×0,15995,18

      Arrondie à 0,01 près de la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est de 995,18 hPa.


    2. Calculer l'altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa.

      L'altitude x en kilomètre, correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est solution de l'équation f(x)=900. Soit :1013,25e-0,12x=900e-0,12x=9001013,25ln(e-0,12x)=ln(9001013,25)-0,12x=ln(9001013,25)x=-ln(9001013,25)0,120,988

      Arrondie au mètre près, l'altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900 hPa est de 988 mètres.


  2. On pose vn=f(n), pour tout entier naturel n. Justifier qu'avec ce modèle, la suite (vn) est géométrique.

    Pour tout entier naturel n : vn+1=f(n+1)vn+1=1013,25e-0,12(n+1)vn+1=1013,25e-0,12n×e-0,12vn+1=f(n)×e-0,12

    Pour tout entier naturel n on a vn+1=vn×e-0,12 donc (vn) est une suite géométrique de raison q=e-0,12.


partie c : La formule du nivellement barométrique

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes.
Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction p qui à l'altitude x en kilomètre associe la pression atmosphérique en hPa : p(x)=1 013,25(1-6,5x288,15)5,255.

  1. Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l'unité) au sommet de l'Everest dont l'altitude est 8848 mètres.

    p(8,848)=1 013,25(1-6,5×8,848288,15)5,255315

    Arrondie à l'unité, la pression atmosphérique au sommet de l'Everest est de 315 hPa.


  2. Recopier et compléter l'algorithme suivant en utilisant la fonction p, de façon à ce qu'il calcule l'altitude (estimée à 100 mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400 hPa.

    A0
    P1013,25

    Tant que P400
    AA+0,1
    P1013,25×(1-6,5×A288,15)5,255
    Fin Tant que


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