sujet : France métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 2

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proche de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l'industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de 1400° C à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de 30° C. Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à 650° C.
La température en degrés Celsius d'une pièce de fonte est une fonction du temps t, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle : $y\prime +\mathrm{0,065}y=\mathrm{1,95}$.

1. 1. Résoudre sur $\left[0;+\infty \right[$ l'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,065}y=\mathrm{1,95}$.

      Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

      Les solutions sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,065}y=\mathrm{1,95}$ sont les fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}+30$ où k est une constante réelle quelconque.

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   2. Donner $f\left(0\right)$ et vérifier que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}+30$.

      La condition $f\left(0\right)=1400$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+30=1400$ d'où $k=1370$

      Ainsi, la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}+30$.

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2. 1. Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $$f\prime \left(t\right)=-\mathrm{0,065}\times 1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}=-\mathrm{89,05}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}$$

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}>0$ donc sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(t\right)<0$.

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(t\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante.

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   2. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?

      Ce résultat était prévisible car la température du local étant maintenue à une température de 30° C, la température d'une pièce de fonte va baisser.

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3. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local ?

   $$f\left(5\right)=1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}\times 5}+30\approx 1020$$

   La pièce de fonte ne peut pas être démoulée après avoir été entreposée 5 heures dans le local.

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4. 1. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être démoulée. Arrondir le résultat à la minute près.

      $$\begin{array}{rcl}1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}+30<650& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}<{\displaystyle \frac{62}{137}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}\right)<\ln {\displaystyle \frac{62}{137}}\\ & \iff & -\mathrm{0,065}t<\ln {\displaystyle \frac{62}{137}}\\ & \iff & t>-{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{62}{137}}}{\mathrm{0,065}}}\approx \mathrm{12,2}\end{array}$$

      La pièce de fonte peut être démoulée après avoir été entreposée 12 heures et 12 minutes dans le local.

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   2. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint 325° C.
      Dans ce cas faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650° C ? Justifier la réponse.

      $$\begin{array}{rcl}1370{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}+30<325& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}<{\displaystyle \frac{59}{274}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,065}t}\right)<\ln {\displaystyle \frac{59}{274}}\\ & \iff & -\mathrm{0,065}t<\ln {\displaystyle \frac{59}{274}}\\ & \iff & t>-{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{59}{274}}}{\mathrm{0,065}}}\approx \mathrm{23,62}\end{array}$$

      La température atteint 325° C moins de deux fois plus de temps que pour un démoulage à 650° C.

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