sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Pour tout réel a strictement positif, ${\displaystyle \frac{\ln \left(2a\right)+\ln \left(8a\right)}{2}}$ est égal à :

   Pour tout réel a strictement positif, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\ln \left(2a\right)+\ln \left(8a\right)}{2}}& =& {\displaystyle \frac{\ln \left(2a\times 8a\right)}{2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\ln \left(16a^2\right)}{2}}\\ & =& \ln \left(\sqrt{16a^2}\right)\\ & =& \ln \left(4a\right)\end{array}$$

   a.   $\ln \left(4a\right)$

   b.   $\ln \left(5a\right)$

   c.   $\ln \left(16a\right)$

   d.   $\ln \left(8a^2\right)$

2. On considère une fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$. On appelle 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. On admet que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.
   La courbe 𝒞 admet :

   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors, la courbe 𝒞 admet pour asymptote la droite d'équation $x=0$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ alors, la courbe 𝒞 n'admet pas d'asymptote arallèle à l'axe des abscisses.

   a. deux asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées	b. une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées et une asymptote parallèle à l'axe des abscisses
   c. une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées et aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses	d. deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses

3. On considère le nombre complexe $z=-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.
   Soit $\overline{z}$ le nombre complexe conjugué de z. Une écriture exponentielle de $\overline{z}$ est :

   $z=-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=-1\times 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=2\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$. Par conséquent, $\overline{z}=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$

   a.   $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   b.   $2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   c.   $2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$

   d.   $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. Les droites d'équation $y=x$ et $y=-x$ partagent le plan en quatre zones ①, ②, ③ et ④ comme indiqué ci dessous :

   Soit z un nombre complexe non nul. On sait que :

   • la partie réelle de z est strictement inférieure à sa partie imaginaire ;
   • un argument de z est strictement compris entre ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ et $2\pi$.

   Le point image de z se situe :

   Sur le graphique ci-contre :

   • La condition « la partie réelle de z est strictement inférieure à sa partie imaginaire » permet d'éliminer la partie du plan grisée.

   • La condition « lun argument de z est strictement compris entre ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ et $2\pi$ » permet d'éliminer la partie du plan hachurée.

   Le point image de z se situe donc dans la zone ③

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   a.   dans la zone ①

   b.   dans la zone ②

   c.   dans la zone ③

   d.   dans la zone ④

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