Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2019

correction de l'exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans le plan complexe ci-dessous, on a placé le point A d'affixe $z_{A}$ .
Proposition 1 : la forme algébrique de $z_{A}$ est $z_{A} = - 1 + 1,7 i$ .
Par lecture graphique, $z_{A}$ est le nombre complexe de module 2 et d'argument $\frac{4 π}{3}$ d'où : $z_{A} = 2 \cos (\frac{4 π}{3}) + 2 i \sin (\frac{4 π}{3}) = - 1 + \sqrt{3} i$
La proposition 1 est fausse.
Durant sa scolarité, Mathilde a pris le bus 3 000 fois pour aller au collège ou au lycée.
Son temps d'attente à l'arrêt de bus, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[120; 500]$ .
Proposition 2 : elle a attendu en moyenne, au total, environ 258 heures et 20 minutes à l'arrêt de bus.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur l'intervalle $[120; 500]$ est le réel $E (X) = \frac{120 + 500}{2} = 310$ .
Chaque jour, temps d'attente à l'arrêt de bus de Mathilde a été en moyenne de 310 secondes. Durant sa scolarité, le temps d'attente, en secondes, de Mathilde a été en moyenne de : $3000 \times 310 = 930000$ Soit une durée d'environ 258 heures et 20 minutes.
La proposition 2 est vraie.
Soit (d) la droite passant par les points $A (1; 3)$ et $B (4; 5)$ .
Proposition 3 : le point $C (12,1; 10,4)$ appartient à la droite (d).
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ont pour coordonnées : $\begin{aligned} \vec{A B} (4 - 1; 5 - 3) & soit & \vec{A B} (3; 2) \\ et & \vec{A C} (12,1 - 1; 10,4 - 3) & soit & \vec{A C} (11,1; 7,4) \end{aligned}$
$\vec{A C} = 3,7 \vec{A B}$ donc les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires et, par conséquent, les points A, B et C sont alignés.
La proposition 3 est vraie.
Proposition 4 : pour tout nombre réel $x > 2$ , on a $\ln (x^{2} - 4) = \ln (x + 2) + \ln (x - 2)$ .
Pour tout réel $x > 2$ , on a $x + 2 > 0$ et $x - 2 > 0$ . Donc pour tout réel $x > 2$ , on a : $\ln (x + 2) + \ln (x - 2) = \ln ((x + 2) (x - 2)) = \ln (x^{2} - 4)$ .
La proposition 4 est vraie.

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