Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2019

correction de l'exercice 1

En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C.
La température extérieure est notée T.
Dans tout l'exercice, on suppose que $T < 20$ .
Température intérieure initiale 20 °C
Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.

On modélise cette situation par une suite $(u_{n})$ dont le terme général $u_{n}$ désigne la température intérieure de la maison n heures après la coupure du chauffage.

Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure T constante, on admet que, pour tout entier naturel n : $\begin{matrix} u_{n + 1} = 0,99 u_{n} + \frac{T}{100} & et & u_{0} = 20 \end{matrix}$

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

On suppose que la température extérieure T est égale à 0 °C. On a donc $T = 0$ .

Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{aligned} u_{1} = 0,99 \times 20 = 19,8 \\ et & u_{2} = 0,99 \times 19,8 = 19,602 \end{aligned}$
Ainsi, $u_{1} = 19,8$ et $u_{2} = 19,602$ .
Montrer que, dans ce cas, la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier naturel n on a $u_{n + 1} = 0,99 \times u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,99$ dont le premier terme $u_{0} = 20$ .
Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,99$ et de premier terme $u_{0} = 20$ alors, pour tout entier naturel n on a : $u_{n} = 20 \times {0,99}^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Justifier.
$0 < 0,99 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,99}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 20 \times {0,99}^{n} = 0$ .
$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ donc à partir d'un certain nombre d'heures, la température intérieure de la maison sera proche de la température extérieure.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_{n} < 5$ .
  $\begin{array}{rcll} 20 \times {0,99}^{n} < 5 & \Leftrightarrow & {0,99}^{n} < \frac{5}{20} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,99}^{n}) < \ln 0,25 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,99 < \ln 0,25 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,25}{\ln 0,99} & \ln 0,99 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,25}{\ln 0,99} \approx 137,9$ , on en déduit que les solutions entières de l'inéquation $u_{n} < 5$ sont les entiers naturels $n ⩾ 138$ .
2. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5 °C.
  Le plus petit entier naturel n solution de l'inéquation $u_{n} < 5$ est $n = 138$ et, $\frac{138}{24} = 5,75$ .
  C'est à partir du sixième jour que la température intérieure descend en dessous de 5 °C.

partie b

On suppose que la température extérieure T est égale à $- 15^{°} C$ . On a donc $T = - 15$ .

Montrer que, dans ce cas, la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par : $u_{n + 1} = 0,99 u_{n} - 0,15$ et $u_{0} = 20$ .
Pour tout entier naturel n : $\begin{matrix} u_{n + 1} = 0,99 u_{n} + (\frac{- 15}{100}) & \Leftrightarrow & u_{n + 1} = 0,99 u_{n} - 0,15 \end{matrix}$
Ainsi, la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par : $u_{n + 1} = 0,99 u_{n} - 0,15$ et $u_{0} = 20$ .
1. Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ .
  $\begin{aligned} u_{1} = 0,99 \times 20 - 0,15 = 19,65 \\ et & u_{2} = 0,99 \times 19,8 - 0,15 = 19,3035 \end{aligned}$
  Ainsi, $u_{1} = 19,65$ et $u_{2} = 19,3035$ .
2. Dans ce cas, la suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
  $\begin{matrix} \frac{u_{1}}{u_{0}} = \frac{19,65}{20} = 0,9825 & et & \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{19,3035}{19,65} \approx 0,9824 \end{matrix}$
  Ainsi, $\frac{u_{1}}{u_{0}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}$ donc la suite $(u_{n})$ n'est pas géométrique.
On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à 5 °C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel U désigne un nombre réel et N un nombre entier naturel.
1. Recopier et compléter l'algorithme.
  $U \leftarrow 20$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que $U ⩾ 5$
  $U \leftarrow 0,99 \times U - 0,15$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché.
  À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur $N = 56$ .
  La température intérieure devient strictement inférieure à 5 °C à partir de 56 heures.

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