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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture*}(16,4.5)
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\vspace{\stretch{2}}

{\color{violetf}\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2013}}}
 
\vspace{\stretch{.5}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable}}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
 
\begin{center}
{\color{violetf}\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2013}}}}

 \vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\bigskip
}

\textsf{\tableofcontents}

\bigskip
 
\hrulefill

}
\vspace{\stretch{1}}
\end{titlepage}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

\pagenumbering{arabic}

\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat sti2d session 2013}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{sti2d}}}
\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\leftmark}}}  
\cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{ANTILLES GUYANE 2013} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{a@Suites!} 

 
\begin{enumerate}
\item L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$.


\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2cm}p{6cm}|}\hline
\emph{Entrée} :& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\
\emph{Traitement} :& Affecter 2 à la variable $u$ \begin{itemize}
       \item[] Pour $i$ variant de 1 à $n$ 
       \begin{itemize}
       \item[]  Affecter $1,5u$ à $u$
       \end{itemize}
       \item[] Fin de Pour
       \end{itemize}\\
\emph{Sortie} :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

 
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ? 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,5 u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des termes $S_{0}$, $S_{1}$ et $S_{2}$. 
		\item Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? 

Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. 
		\item Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (5 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
 
Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de 50 pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse en g 
&\np{1195} &\np{1196} &\np{1197} &\np{1198} &\np{1199} &\np{1200} &\np{1201}& \np{1202} &\np{1203} &\np{1204}\\ \hline 
Nombre de boules &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Une boule est dite \og de bonne qualité \fg{} si sa masse en grammes $m$ vérifie : $\np{1197} \leqslant m \leqslant \np{1203}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité. 
		\item Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
	\end{enumerate} 

Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$.
 
Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
 \item L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
  
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$. 
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$. 
		\item Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item Le client reçoit un lot de 50 boules. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces. 
		\item Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité.
		 
Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
 
Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95\,\% ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (5 points)}\index{e@Nombres complexes} 

 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.
 
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : 

\[(2 - \mathrm{i})z = 2 - 6\mathrm{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$. 
		\item Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = \e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{2}} \times  z_{1}$. 

Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives : $z_{A} = 2 - 2\mathrm{i}$, $z_{B} = - 2 - 2\mathrm{i}$ et $z_{C} = - 4\mathrm{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe. 
		\item Calculer le produit scalaire $\vv{CA} \cdot \vv{CB}$.
		\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (6 points)}\index{b@Fonctions logarithmes} 

 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x$. 
 
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$. 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et $\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier. 
		\item Par lecture graphique, donner $F(1)$. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{1/x-ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.4}{9}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed]{0.646}{9}{-1/x-1/(x^2)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=prune,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{(1-x)*ln(x)+x}
\uput[r](0.4,3){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[r](0.7,-3.9){\prune{$\Gamma$}}
\uput[r](0.05,-2){\prune{$C$}}

\end{pspicture}
\end{center}

\item Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
Interpréter graphiquement cette limite. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  $H(x) = x - (x - 1) \ln x$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1. 
		\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\e} f(x)\:\mathrm{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE 2013} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (5 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
 
La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
 
Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

\begin{center}

\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|@{}m{0.25cm}@{}|c|>{\centering \arraybackslash}X|@{}m{0.25cm}@{}|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8} 
$a$& $p\left( X \leqslant  a \right)$&&$a$&$p\left( X \leqslant  a \right)$&&$a$&$p\left( X \leqslant  a \right)$\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}
98 &\np{0,00000165}&&99,5 &\np{0,12245722}&&101 &\np{0,98997955}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
98,5 &\np{0,00024299}&&100 &\np{0,50000000}&&101,5 &\np{0,99975701}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
99 &\np{0,01002045}&&100,5 &\np{0,87754278}&&102 &\np{0,99999835}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.\\ 
Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X > 99$ \fg{}. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $99 \leqslant X \leqslant 101$ \fg. 
		\item Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. 
Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
	\end{enumerate} 
\item Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120. 
		\item On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. 
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (5 points)}\index{c@Fonctions exponentielles} 

 
On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20~\degres C. 

\emph{Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22~h à 7~h le lendemain matin.}
 
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11~\degres C.
 
On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22~h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en \degres C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~9]$

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~9]$. 
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~9]$ par $f(t) = 9 \e^{-0,12t} + 11$. 
\item Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente. 
\item Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15~\degres C. 
\item Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}}

\medskip

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~9]$, 

\[g(t) = 0,7\e^{-0,12t}.\] 
 
L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22~h et 7~h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale 

\[\mathcal{E}  = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée. 
\item En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$~kWh près. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est : 
\begin{enumerate}
\item $z = 4\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ 
\item $z = 2\sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $z = 4\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
\item $z = 2\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
\end{enumerate}

\medskip 

\item Si $z_{1} = 3\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
\begin{enumerate} 
\item $3\sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
\item $3 \e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
\item $3\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
\item $3\e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
\end{enumerate}

\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 4 \e^{9x}$ 
		\item $f(x) = - 0,2 \e^{- 9x}$ 
		\item $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$ 
		\item $f(x) = 0,7\sin (3x)$
	\end{enumerate}
	
	 \medskip
	 	
\item On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

\begin{enumerate} 
\item $f(x) = 9\e^{7x}$
\item $f(x) = 9\e^{- 7x}$
\item $f(x)= - 9\e^{7x}$
\item $f(x) = - 9\e^{- 7x}$
\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (6 points)}\index{a@Suites!} 

 
Document 1

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth} 
\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}

\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$ km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.}

\end{minipage}}
 
 \medskip
 
Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de 100~kilomètres.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}}

\medskip
 
On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100~km.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$. 
\item Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ? 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\framebox [7.5cm]{\begin{minipage}{7cm} 

\textsf {\textsc{variables} :}

\setlength\parindent{5mm}
$n$ : un nombre entier naturel

$q$ : un nombre réel

$p$ : un nombre réel
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{entrée} :}

\setlength\parindent{5mm}
Saisir $n$ 
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{initialisation} :}

\setlength\parindent{5mm}
Affecter à $p$ la valeur \np{6400}

Affecter à $q$ la valeur 0,997
\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{traitement} :}

\setlength\parindent{5mm}
Répéter $n$ fois

\begin{itemize}
\item[] Affecter à $p$ la valeur $p \times q$
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\textsf {\textsc{sortie} :}

\setlength\parindent{5mm}
Afficher $p$
\setlength\parindent{0mm}

\end{minipage}}
\end{center} 



\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\newrgbcolor{gris}{.895 .895 .895}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline \hline 
\multicolumn{1}{|c|}{Entrées et initialisation}&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme & \cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme &\cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme &\cellcolor{gris} & \cellcolor{gris} & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme. 
\item Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c :}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ? 
\item D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude.
 
On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ? 
		\item Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE SEPTEMBRE 2013} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$ est:  
	\begin{enumerate}
		\item $z = 5\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  
		\item $z = 5\sqrt{2}\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item Si $z_{1} = 2\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe : 
	\begin{enumerate}
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
	\end{enumerate}		
\item Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item $1$ 
		\item $\mathrm{i}$	 
		\item $-1$
		\item  $- \mathrm{i}$
	\end{enumerate}		 
\item Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$  a pour forme algébrique :
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{3} - 3\mathrm{i}$ 
		\item $3 - \mathrm{i}\sqrt{3}$ 
		\item $- \sqrt{3} + 3\mathrm{i}$ 
		\item $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125~grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125~grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124~;~127,5]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes. 
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme. 
		\item En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.		
	\end{enumerate}
	
	\medskip
		 
\emph{On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.}

\medskip

{\textsf{\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|X|c|c|X|c|c|X|c|c|}\cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
$a$ & $p(X \leqslant a)$ & & $a$ & $p(X\leqslant a)$ & & $a$ & $p(X \leqslant a)$ & & $a$ & $p(X \leqslant a)$\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,00&\np{0,0000015}& &123,50 &\np{0,0038304}& &125,00 &\np{0,2524925}& &126,50 &\np{0,9087888}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,25&\np{0,0000073}& &123,75 &\np{0,0098153}& &125,25 &\np{0,3694413}& &126,75 &\np{0,9522096}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
122,50&\np{0,0000317}& &124,00 &\np{0,0227501}& &125,50 &\np{0,5000000}& &127,00 &\np{0,9772499}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}     
122,75&\np{0,0001229}& &124,25 &\np{0,0477904}& &125,75 &\np{0,6305587}& &127,25 &\np{0,9901847}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,00&\np{0,0004291}& &124,50 &\np{0,0912112}& &126,00 &\np{0,7475075}& &127,50 &\np{0,9961696}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,25&\np{0,0013499}& &124,75 &\np{0,1586553}& &126,25 &\np{0,8413447}& &127,75&\np{0,9986501}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}
\end{tabularx}}}}

\medskip
 
\item Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes.
 
On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97\,\%.
 
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près). 
		\item Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (6 points)}\index{a@Suites!} 

 
Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635~milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100~milligrammes par kilomètre.
 
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7\,\% par an.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001. 
		\item Un véhicule émettait 500~milligrammes par kilomètre en 2002.
		 
Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
	\end{enumerate} 
\item Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 

Louise a amorcé l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textsf{Variables}\\ 
\qquad $n$ : un nombre entier naturel \\
\qquad $p$ : un nombre réel\\
\textsf{Initialisation}\\ 
\qquad Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\qquad Affecter à $p$ la valeur $635$\\ 
\textsf{Traitement}\\ 
\qquad Tant que \ldots\\ 
\qquad \qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\qquad \qquad Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$\\
\qquad  Fin Tant que\\ 
\textsf{Sortie}\\ 
\qquad Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer l'instruction \og Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ \fg . 
		\item Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes  l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (6 points)}\index{c@Fonctions exponentielles} 

 
Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. 

La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(7,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{80-20*EXP(0.025*x)}
\def\g{80-20*EXP(-0.025*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(7,7)
\psset{unit=0.1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-60,-9.9)(70,70)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dl](70,0){{$x$}} \uput[dl](0,70){{$y$}} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](30,0)(30,37.66)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](30,2.5)(27.5,2.5)(27.5,0)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=555,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{55.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=555,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-55.5}{0}{\g}
\uput[ur](0,60){\bleu{S}}
\uput[ur](30,37.66){\bleu{K}}
\uput[ur](30,0){\prune{H}}
\uput[d](-55.5,0){\bleu{B}}
\uput[d](55.5,0){\bleu{A}}
\end{pspicture}
\end{center}

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. 
 
L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. 

Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item  $\mathrm{OS} = 60$ ; 
\item  $\mathrm{HK} > 35$ ; 
\item la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~60] ; 
\item  $\mathrm{OA} \leqslant  60$. 
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}- Étude d'une fonction numérique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~60]$  par $f(x) = 80 - 20\e^{0,025x}$  vérifie les trois premières conditions du cahier des charges. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. 

Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}- Calcul d'intégrale et application}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0~;~60]$ par $F(x) = 80x - 800\e^{0,025x}$.
 
Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~60]$. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} (x) \dd x$. 
		\item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
	\end{enumerate} 
\item On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$. 
		\item La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2013} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (5 points)}\index{a@Suites!} 

 
La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.
 
\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|>{\small}l|*{12}{>{\centering \arraybackslash \small} X|}}\hline
&\multicolumn{1}{c|}{\sf{A}}&\sf{B} &\sf{C} &\sf{D} &\sf{E} &\sf{F} &\sf{G} &\sf{H} &\sf{I} &\sf{J} &\sf{K} &\sf{L}\\ \hline
\sf{1}&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
\sf{2}&Valeur de $u_{n}$&
$- 1$& 2,6 &  4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\raggedright}X*{2}{>{\centering}X}>{\raggedleft}X } 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4 \mathsf{\Huge{\hat{\phantom{,}}}} \text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textsf{\textsc{variables :}}		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\textsf{\textsc{entrée :}}		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\textsf{\textsc{initialisation :}}& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\textsf{\textsc{traitement :}}	& 	Tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\begin{tabular}{@{\hspace{1em}}|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\ 
& Fin Tant que\\
\textsf{\textsc{sortie :}}& 	Afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (3 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.\\ 
$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.\\ 
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.} 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\raggedright}X|*{3}{c|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&Réponse a& Réponse b& Réponse c\\ \hline 
1& Soit $z = - \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :& $\sqrt{2}$ & $- \sqrt{2}$ & 2\\ \hline  
2& Soit $z = - \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est : & $\dfrac{\pi}{4}$ & $- \dfrac{\pi}{4}$ & $- \dfrac{3\pi}{4}$\\ \hline
3&$f$ est définie par\begin{center}
\vspace{-.8em}$f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$
\end{center}\vspace{-.8em}
$f$ est solution de : & $y' + 3y = 0$ & $y''+ 25y = 0$ & $y'' - 5y = 0$\\ \hline 
4&Les solutions de l'équation\begin{center}
\vspace{-.8em}$y' - 2y = 0$
\end{center}\vspace{-.8em}
 sont les fonctions du type : & $x \mapsto k\e^{2x}$ avec $k \in  \R$ & $x \mapsto k\e^{- 2x}$ avec $k \in \R$ & $x \mapsto k\e^{2x} + k$ avec $k \in  \R$\\ \hline 
5&La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :& $\left\{1 - \e^3\right\}$ & $\left\{1 + \e^3\right\}$ & $\left\{\e^3 - 1\right\}$\\ \hline 
6&L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est : 
& $]- \infty ; \ln 8]$ & $]- \infty ; 3]$ & $]- \ln 3 ; \ln 5]$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (7 points)}\index{b@Fonctions logarithmes} 

 
\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(13,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(13,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(13,6)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=prune,plotpoints=2]{-1}{2.5}{1 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.298}{13}{x ln 2 mul 4 x div add 5 sub}
\uput[r](0.3,5){\bleu $\mathcal{C}$}\uput[l](2,-3){\prune $T$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{itemize}
\item[] $\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
\item[] $T$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1 ; -1)$. $T$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$. 
		\item Déterminer $f'(1)$. 
		\item Donner une équation de $T$. 
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, vérifier que $f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$. 
\item En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à $[1 ; 3]$. 
		\item On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x$ est une primitive de $f$. 

Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires.
 
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (5 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9.
 
Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes. 
\end{enumerate} 

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
 
On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)$. 
\item Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie c}}}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
 
On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5\,\% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300  médailles. 
\item On prélève un échantillon de 300 médailles. 

On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme. 

Doit-on réviser le réglage de la machine ? 
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE MARS 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{e@Nombres complexes} 

 
On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: 

\[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = \e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Démontrer que $z_{1} \times  z_{2} = 2z_{3}$. 
\item En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$. 
\item En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$   et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
\end{enumerate}

\newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. 

Le directeur de ce groupe affirme que 92\,\% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. 

Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100. 
		\item Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
	\end{enumerate} 
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. 

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à 0,01 près). 
		\item La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7. 
		
En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (5 points)}\index{a@Suites!} 

 
L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
 
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$~noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
 
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131. 
\item On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|l X|}\hline 
1	&\textsf{Variables :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
2	&\textsf{Initialisation :}& 	Affecter la valeur $0$ à $n$\\ 
3	&					& Affecter la valeur $10^6$ à $u$\\
4	&\textsf{Traitement :}& Tant que $u > \dfrac{10^6}{2}$ \\
5	&					&\hspace{1em}$n$ prend la valeur $n + 1$\\  
6	&					&\hspace{1em}$u$ prend la valeur $u \times  0,917$\\ 
7	&					&Fin tant que\\ 
8	&\textsf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ? 
		\item Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ? 
		\item Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3\,\%.
		 
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$~noyaux ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (7 points)}\index{c@Fonctions exponentielles} 

 Dans tout l'exercice, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip
 
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dans un repère orthonormé du plan.
 
On note $f'$  la fonction dérivée de $f$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A (0 ; 5)$ et par le point $B$ d'abscisse 2. 

La tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C(1 ; 1)$ et la tangente $T_B$ au point $B$ est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(6,7)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2-x^2-2*x)*EXP(-x)+3}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(6,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-.41}{6}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-.5,7)(1.25,0)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-1.5,2.18799)(6,2.18799)
\psdots[dotscale=.75,linecolor=bleu](2,2.18799)(0,5)
\psdot[dotscale=.75,linecolor=prune](1,1)
\uput[ur](0,5){\bleu \footnotesize{$A$}} \uput[u](2,2.2){\bleu \footnotesize{$B$}} \uput[ur](1,1){\prune \footnotesize{$C$}}
\uput[ur](1.25,0){\prune $T_A$}
\uput[d](5,2.2){\prune $T_B$}
\uput[u](4,2.55){\bleu $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center} 


\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. \\Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. \\Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(0)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(2)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}2,1 &\textbf{c.~~}3 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x$ par des entiers naturels est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
\textbf{a.~~}$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 4$ &\textbf{b.~~}$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 7$ &\textbf{c.~~}$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 5$ &\textbf{d.~~} $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x) \dd x \leqslant 2$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\R$ par $f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)\e^{- x} + 3$.
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est 3.
 Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R$,  $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)\e^{- x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\e^{- x} + 3x$. 

Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{POLYNÉSIE 2013} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à  choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à  la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.\\ 
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.}
 
\medskip


On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le carré de $z$ est égal à  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 4 \text{i}$& 
\textbf{b.~~} $- 4$& 
\textbf{c.~~} $-2\mathrm{i}$& 
\textbf{d.~~} $4$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'inverse de $z$ est égal à  : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{b.~~} $- 2\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{c.~~} $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$&
\textbf{b.~~} $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$\\
\textbf{c.~~} $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$& 
\textbf{d.~~} $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$\\
\end{tabularx}
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à  ce que survienne la première panne.
 
Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$, suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
 
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8~ans est au centième près :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0, 18$&\textbf{b.~~} $0,20$&\textbf{c.~~} $0,71$&\textbf{d.~~} $0,80$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate} 


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (5 points)}\index{a@Suites!} 

 
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{0} = 8\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
 
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
 
Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe ci-dessous. 

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\medskip

\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|>{\raggedright \arraybackslash}X|}\hline
	&\textsf{A} 	&\multicolumn {1}{c|}{\textsf{B}}\\ \hline
\textsf{\small{1}}	&$n$	&\multicolumn {1}{c|}{$u(n)$}\\ \hline 
\textsf{\small{2}}	&0		&8\\ \hline 
\textsf{\small{3}}	&1		&\\ \hline 
\textsf{\small{4}}	&2		& \\ \hline
\textsf{\small{5}}	&3		&5,192\\ \hline 
\textsf{\small{6}}	&4		&\np{5,07681}\\ \hline 
\textsf{\small{7}}	&5 		&\np{5,03072}\\ \hline 
\textsf{\small{8}}	&6 		&\np{5,012288}\\ \hline 
\textsf{\small{9}}	&7 		&\np{5,0049152}\\ \hline 
\textsf{\small{10}}	&8 		&\np{5,00196608}\\ \hline 
\textsf{\small{11}}	&9 		&\np{5,00078643}\\ \hline 
\textsf{\small{12}}	&10 	&\np{5,00031457}\\ \hline 
\textsf{\small{13}}	&11 	&\np{5,00012583} \\ \hline
\textsf{\small{14}}	&12 	&\np{5,00005033}\\ \hline 
\textsf{\small{15}}	&13 	&\np{5,00002013}\\ \hline 
\textsf{\small{16}}	&14 	&\np{5,00000305}\\ \hline 
\textsf{\small{17}}	&15		&\np{5,00000322}\\ \hline 
\textsf{\small{18}}	&16 	&\np{5,00000129}\\ \hline 
\textsf{\small{19}}	&17 	&\np{5,00000052}\\ \hline 
\textsf{\small{20}}	&18 	&\np{5,00000021}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? 
\item En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.}\\ Initialisation :& Affecter à  N la valeur $0$\\ 
&Affecter à  U la valeur 8\\ 
Traitement :& 	TANT QUE $\text{U} - 5 > 0,01$\\
& Affecter à  N la valeur N + 1\\
& Affecter à  U la valeur $0,4\text{U} + 3$\\
& Fin TANT QUE\\ 
 Sortie :& Afficher N\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
Par rapport à  la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ? 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à  la question 3 ?
		 
Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (4 points)}\index{d@Équations différentielles} 

 
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à  100\degres C. Elle conseille à  son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à  20\degres C.
 
Théo lui rétorque que quand il sera à  37\degres C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
 
La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle $(E)\quad  y' +0,04y = 0,8$. 


 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$. 
\item En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée : 
	\begin{enumerate}
		\item La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37\degres C ? 
		\item Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ?
		 
En donner une valeur arrondie à  la seconde près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (7 points)}\index{f@Probabilités} 

 
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à   $10^{- 3}$  près.}

\medskip
 
Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à  l'industrie.
 
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{A.} Loi normale}}

\medskip
 
Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à  l'intervalle [74,4~;~75,6].
 
On note $L$ la variable aléatoire qui, à  chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$. 
\item Quelle valeur doit-on donner à  $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ? 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{B.} Loi binomiale}}

\medskip
 
Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$.
 
On note $D$ l'événement : \og une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme \fg. 

On suppose que $P(D) = 0,02$.
 
On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à  un tirage aléatoire avec remise. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à  un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20~pièces.
\item Calculer l'espérance mathématique, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{C.} Intervalle de fluctuation}}

\medskip
 
\emph{Le cahier des charges établit que la proportion de 2\,\% de pièces non conformes dans la production est acceptable.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à  95\,\% de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80.

\medskip
 
\emph{On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.}

\medskip
 
\item Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ? 
\item La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 

 \newpage
  
\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\null
\vspace{\stretch{1}}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT STI2D 2013}}

\bigskip

{\Large \textsc{Mathématiques : index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill
  \begin{itemize}
  \item[] Suites \dotfill \hyperpage{1}, \hyperpage{8}, \hyperpage{12}, \hyperpage{14}, \hyperpage{21}, \hyperpage{25}
  \item[] Fonctions logarithmes \dotfill \hyperpage{4}, \hyperpage{16}
  \item[] Fonctions exponentielles \dotfill \hyperpage{6}, \hyperpage{13}, \hyperpage{22}
  \item[] Nombres complexes \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{10}, \hyperpage{19}
  \item[] \'Equations différentielles \dotfill \hyperpage{26} 
  \item[] QCM (Nombres complexes et \'Equations différentielles) \dotfill \hyperpage{7}, \hyperpage{15}, \hyperpage{24}
  \item[] Probabilités \dotfill \hyperpage{2}, \hyperpage{5}, \hyperpage{11}, \hyperpage{18}, \hyperpage{20}, \hyperpage{27}
\end{itemize}
\hrulefill

\end{ModifMarges}
\vspace{\stretch{2}}
	\end{sffamily}

 \end{document}