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\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture*}(16,4.5)
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\vspace{\stretch{2}}

{\color{violetf}\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales des sujets de mathématiques session 2014}}}
 
\vspace{\stretch{.5}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable}}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
 
\begin{center}
{\color{violetf}\LARGE{\bf {Les sujets proposés sont établis à partir des énoncés mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}
\end{center}
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\newpage

\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\textsf{\textsc{{sommaire des sujets de la session 2014}}}}

 \vspace{\stretch{1}}
 
\hrulefill

\bigskip
}

\textsf{\tableofcontents}

\bigskip
 
\hrulefill

}
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\end{titlepage}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}} 

\pagenumbering{arabic}

\lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat sti2d session 2014}}}}
\rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{sti2d}}}
\lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\leftmark}}}  
\cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}


\section{ANTILLES GUYANE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (5 points)}\index{q@QCM} 

 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n'est demandée. 
 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
a)\: $\text{e}^{x} \times \e^{- 4}$ & b)\: $- \e^{4x}$& c)\: $x \times \e^{- 4}$& d)\: $\dfrac{1}{\e^{4x}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'intégrale 	$\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\e^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
a)\:  5& b)\: 10& c)\: 2,5& d)\: 1\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison 0,98.

$\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison 1,02. 

Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
a)\:  14 & b)\: 15 & c)\: 16& d)\:17\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$.
 
On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}		& $n, u$\\ 
\textbf{Initialisation}	& $u$ prend la valeur 1\\ 
						&$n$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement}		& Tant que $u < \np{1000}$\\
						&\hspace{0.3cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
						&\hspace{0.3cm}$u$ prend la valeur $u \times \dfrac{5}{3}$\\
						&Fin tant que\\ 
\textbf{Sortie}			& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Cet algorithme affiche en sortie : 

\begin{enumerate}
		\item  la valeur de $u_{\np{1001}}$
 		\item  la plus grande valeur de $n$ vérifiant $u_{n} < \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$
\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
 
La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
a)\:   $y'' + y = 0$& 
\textbf{b.~~}  $16y'' - 9y = 0$ &
\textbf{c.~~}  $9y'' + 16y = 0$& 
\textbf{d.~~}  $9y'' - 16y = 0$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. 

Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.


\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la \np{32000}\up{e} heure de fonctionnement. 
		\item On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
		 
\emph{On prendra $1$ année = $365$ jours}. 
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne après \np{10000}~heures et avant \np{40000}~heures de fonctionnement. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate} 
\item La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. 

Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant \np{32000}) = 0,8$. 

Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (5 points)}\index{e@Nombres complexes} 

 
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$ d'unités 5~cm. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,\: 
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$. 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$. 
\item  On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$. 
		\item Les points $M$, $N$ et $P$ sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $u$ sous la forme exponentielle. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$. 
		\item Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$. 
		\item Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (6 points)}\index{b@Fonctions logarithmes} 

 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = (2 - \ln x) \ln x$. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille \textbf{ANNEXE}. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique la limite de la fonction $f$ en 0. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de $f(x)$. 
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $A$ et $B$ les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points $A$ et $B$. 
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x$  est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \e^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-8)(13,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(6,5){\textsf {\textbf{\textsc{annexe} à remettre avec la copie}}}
\def\f{(2-ln(x))*ln(x)}
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\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](13,0){$x$}\uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.135}{13}{\f}
\uput[ul](1,0){\bleu $A$}\uput[u](7.389,0){\bleu $B$}\uput[d](10.5,-1){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une machine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes.

Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L'entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 2,86.

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $195 \leqslant X \leqslant 205$ \fg .
\item Déterminer la probabilité qu'une tablette de chocolat prise au hasard dans la production ne soit pas rejetée après pesée.
\end{enumerate}
\item Une étude statistique a établi que, si la machine est bien réglée, la proportion de tablettes de chocolat rejetées est de 4 \%.

Afin de vérifier le réglage de la machine, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetées.

Cette observation remet-elle en cause le réglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (4 points)}\index{e@Nombres complexes} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

On considère les deux nombres complexes $z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z'=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$.
\begin{enumerate}
\item La forme algébrique de $z$ est égale à :
\begin{enumerate}
\item $z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=2+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z'$ est le nombre complexe :
\begin{enumerate}
\item opposé de $z$
\item inverse de $z$
\item conjugué de $z$
\item opposé du conjugué de $z$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z \times z'$ :
\begin{enumerate}
\item est un nombre réel
\item est un nombre imaginaire pur
\item a pour module 2
\item est un nombre complexe dont un argument est $\dfrac{4\pi}{3}$
\end{enumerate}
\item Un argument du nombre complexe $z''$ tel que $z \times z'' = \mathrm{i}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\pi}{3}$
\item $\dfrac{5\pi}{6}$
\item $\dfrac{\pi}{6}$
\item $-\dfrac{\pi}{6}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (6 points)}\index{d@Équations différentielles} 

 
Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5~°C, sont placés dans le tunnel.

Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24$~°C.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.

La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $g(0) = 5$.
\item Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35$.
\end{enumerate}
\item Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (6 points)}\index{a@Suites!} 

 
\emph{Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 1 :}}}

\medskip

\emph{L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering}m{3cm}|X|}\hline
\textbf{Catégorie} & \textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Dégâts occasionnés}} \\ \hline \hline
F0 & 60 à 120 & \textbf{Dégâts légers :} dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,\ldots \\ \hline
F1 & 120 à 180 & \textbf{Dégâts modérés :} automobiles renversées, arbres déracinés,\ldots \\ \hline
F2 & 180 à 250 & \textbf{Dégâts importants :} toits arrachés, hangars et dépendances démolis, \ldots \\ \hline
F3 & 250 à 330 & \textbf{Dégâts considérables :} murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues, \ldots \\ \hline
F4 & 330 à 420 & \textbf{Dégâts dévastateurs :} murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, \ldots \\ \hline
F5 & 420 à 510 & \textbf{Dégâts incroyables :} maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 2 :}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : \og la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 \% toutes les 5 minutes \fg .}

\emph{On appelle \og durée de vie \fg{} d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 $\text{km}.\text{h}^{-1}$.}
\end{minipage}}

\medskip

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de  $420 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

\emph{L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $ 10 \text{km}.\text{h}^{-1}$.}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de  $378 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.

À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
\item Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme \og dégâts considérables\fg .
\end{enumerate}
\item Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
\begin{center}
{\setlength{\fboxsep}{.5cm}
\fbox{\begin{minipage}{.4\linewidth}
\textbf{Variables}

\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel

\hspace{1em}$v$ : un nombre réel

\hspace{1em}$q$ : un nombre réel

\textbf{Initialisation}

\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur 0

\hspace{1em}Affecter à $v$ la valeur 420

\hspace{1em}Affecter à $q$ la valeur 0,9

\textbf{Traitement}

\hspace{1em}Tant que \dotfill 

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{1em}Fin Tant que

\textbf{Sortie}

\hspace{1em}Afficher $5 \times n$
\end{minipage}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur 0,9 dans la phrase \og Affecter à $q$ la valeur 0,9 \fg .
\item Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
\item Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.

Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
\item Expliquer l'instruction \og Afficher $5 \times n$ \fg{} proposée par l'étudiant.
\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{FRANCE MÉTROPOLITAINE SEPTEMBRE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z_{1} = \sqrt{6} + \mathrm{i}\sqrt{6}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $z_{1} = 2\sqrt{3}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $z_{1} = 2\sqrt{6}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
		\item $z_{1} = 6\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $z_{1} = \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{6} + \mathrm{i}\sqrt{6}$ et $z_{2} = - \sqrt{6} + \mathrm{i}\sqrt{6}$.
 
Le nombre complexe $z_{2}$ est égal à : 
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{z_{1}}$ 
		\item $- z_{1}$ 
		\item $- \overline{z_{1}}$  
		\item $\mathrm{i} + z_{1}$
	\end{enumerate}		 
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. 

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(5,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-.4)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$}\uput[dl](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.3333}{5}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x ; y)$ qui  vérifient $1 \leqslant x \leqslant 2$ et $\dfrac{1}{x} \leqslant y \leqslant 1$ a pour aire (exprimée en unité d'aire) :
	\begin{enumerate}
		\item $\ln 2$
		\item $\dfrac{1}{2}$		 
		\item $1 - \ln 2$ 
		\item $1 - \e^2$
	\end{enumerate} 
\item La tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ à la courbe représentative de la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$, a pour équation :
	\begin{enumerate}
		\item $y = - 4x + 4$ 
		\item $y = \phantom{-}4x + 4$ 
		\item $y = - 4x - 4$ 
		\item $y = \phantom{-}4x - 4$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (5 points)}\index{b@Fonctions logarithmes} 

 
Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de 10 tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de  40 tonnes.
 
L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\e} = \np{3200}\, \mathrm{m.s}^{-1}$.
 
La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $\np{8000}\, \mathrm{m.s}^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée.
 
Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite.
 
On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$ tonnes.
 
Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en $\mathrm{m.s}^{-1}$, est donnée par
 
\[f(x) = V_{\e} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\]
 
où $x$ est un réel de l'intervalle $[100 ; 900]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[100 ; 900]$, $f(x) = \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)$.
 
On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes. 
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item Si les réservoirs contiennent au décollage 100 tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ? 
		\item Avec 400 tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (7 points)}\index{a@Suites!} 

 
Chloé, âgée de 15 ans au 1\up{er} janvier 2014, réside dans une agglomération française.
 
Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d'épargne ses 600 euros d'économies à partir du 1\up{er} janvier 2014.

\medskip
 
\textsf{\textbf{Information 1 :} conditions de souscription du livret jeune}

\begin{center}
\fbox{\parbox{.9\linewidth}{
\begin{itemize}
\item Montant maximum de placement: \np{1600} euros  
\item Taux d'intérêt annuel de 2,75\,\% 
\item Avoir entre 12 et 25 ans 
\item Résider en France 
\item Montant minimum à l'ouverture : 10~euros
\end{itemize}
}}
\end{center}

\textsf{\textbf{Information 2 :} coût moyen du permis de conduire}

\begin{center}
\fbox{\parbox{.9\linewidth}{
La loi impose un minimum de $20$~heures de conduite avant de se présenter au permis.

Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013  et menée auprès de 447 auto-écoles souligne que ce forfait de 20 heures est facturé du simple au double selon les régions.

Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne.
 
Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de \np{1500} euros.
}}
\end{center}
 
\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune. 
\item Aura-t-elle une somme suffisante disponible au 1\up{er} janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Chloé aura besoin de \np{1500} euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25 euros, à partir du 1\up{er} février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ses parents lui présentent un extrait d'une page de tableur qui simule l'évolution d'épargne : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B\\ \hline 
1 &01/01/2014 &600,00~\euro\\ \hline 
2 &01/02/2014 &626,36~\euro\\ \hline 
3 &01/03/2014 &652,77~\euro\\ \hline 
4 &01/04/2014 &679,25~\euro\\ \hline 
5 &01/05/2014 &705,78~\euro\\ \hline 
6 &01/06/2014 &732,38~\euro\\ \hline 
7 &\ldots &\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, dans la feuille de calcul ci-dessus, la formule à saisir dans la cellule B2 est : 
		
		\fbox{$= \np{1,00226} \times \text{B1} + 25$}. 
		\item Déterminer la somme qui serait disponible sur le livret au 1\up{er} juillet 2014.
	\end{enumerate} 
\item Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l'argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. 

Elle décide de noter $u_{n}$ la somme, en euros, disponible le $n$-ième mois après l'ouverture du livret. Ainsi, $u_{0}$ vaut 600~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item Chloé décide d'écrire l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline		 
\textsf{\textbf{Variables}}\\ 
\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel\\
\hspace{1em}$u$ : un nombre réel\\ 
\textsf{\textbf{Initialisation}}\\ 
\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
\hspace{1em}Affecter à $u$ la valeur $600$\\ 
\textsf{\textbf{Traitement}}\\ 
\hspace{1em}Tant que \ldots\ldots\\ 
\hspace{2em}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
\hspace{2em}Affecter à $u$ la valeur \ldots\ldots\\ 
\hspace{1em}Fin Tant que\\
\textsf{\textbf{Sortie}}\\ 
\hspace{1em}Afficher \ldots\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Trois lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché.
		\item Au bout de combien de mois Chloé aura-t-elle l'argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Une entreprise de transport dispose d'un nombre important de camions. On admet que la distance quotidienne parcourue par chaque camion, exprimée en kilomètres, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance 500 et d'écart type 40.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la distance moyenne parcourue en un jour par un camion. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure au moins 500 km en un jour. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure entre 380 km et 460 km en un jour. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure plus de 460 km en un jour.
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'environ 95\,\% de ses camions parcourent entre 460 et 540 km par jour. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{NOUVELLE CALÉDONIE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (6 points)}\index{a@Suites!} 

 
Au 1\up{er} janvier 2014, un particulier installe $20 \mathrm{m}^2$ de panneaux photovoltaïques à son domicile. 

Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation suivante :

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
En France $1 \mathrm{m}^2$ de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ 95 kWh/an.

La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime que la perte de rendement est de 3\,\% par an.

La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation dépasse \np{20000} kWh
\end{minipage}}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $2014 + n$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie produite en 2015.
		\item Vérifier que $u_{n+1} = 0,97 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité d'énergie produite en 2044 ?
\item Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années ?
\item En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
1&VARIABLES\\
2& $u$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3& $S$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4& $n$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5& DÉBUT ALGORITHME\\
6& $n$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
7& $u$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
8& $S$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
9& TANT\_QUE ($S< \np{20000}$) FAIRE\\
10& DÉBUT\_TANT\_QUE\\
11& $n$ PREND LA VALEUR $n+1$\\
12& $u$ PREND\_LA\_VALEUR $u \times 0,97$\\
13& $S$ PREND\_LA\_VALEUR $S+u$\\
14& FIN\_TANT\_QUE\\
15& AFFICHER $n$\\
16& FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi sert la ligne 8 ?
		\item La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
\item On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25 ans.
	
Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (5 points)}\index{f@Probabilités} 

 
Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie en km.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 104$ et d'écart type $\sigma = 6$.

On arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.

On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise entre 92 et 116.

Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de conformité.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet échantillon.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.

On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est 0,05.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes \fg. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.

Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de \np{1000} véhicules produits, on constate la vente de 148 véhicules avant la campagne
publicitaire.

Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de 177 véhicules.

Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?

Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\% correspondant à chacune de ces situations.



 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.}

Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction $f$ définie sur $]7~;~+ \infty[$ par $f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}$


\begin{enumerate}
\item Une primitive $F$ de $f$ est donnée par :
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}$
		\item $F(x) = x^3 +  \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = 9x^3 +  2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = x^3+  \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)$
	\end{enumerate}
\item Laquelle des limites suivantes est correcte ?
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154$
	\end{enumerate}
\item  Soit $z = - \dfrac{1}{2} + \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors l'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{z} = \e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \e^{- \mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
	\end{enumerate}
\item  Un argument de $z = \sqrt{7}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}} \times \e^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{7}}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{\pi}{14}$
		\item $\dfrac{13\pi}{14}$
		\item $- \dfrac{2\pi}{9}$
		\item $\sqrt{7}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (5 points)}\index{d@Équations différentielles} 

 
Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau potable.

À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de
10 litres par minute.

On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes
par litre), qui doit rester inférieure à $3,9\,\mathrm{g}.\mathrm{L}^{-1}$.

On modélise la situation en notant $s$ la salinité exprimée en grammes par litre et $t$
le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident.

On suppose que l'évolution de $s$ est représentée par l'équation différentielle \[(\text{E}) : \quad  y' + 0,01y = 0,39.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).
\end{enumerate}
On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction $s$ est
définie par \[s(t) = 39 - 38,88\e^{-0,01t}.\]
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à
$t = 0$ ?
		\item Justifier que la fonction $s$ est strictement croissante.
		\item Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de
l'incident. Arrondir à $10^{-2}$ près.
		\item Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?
	\end{enumerate}
\item La salinité doit rester inférieure à $3,9\,\mathrm{g}.\mathrm{L}^{-1}$.
	
De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter
l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ?
	
Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{POLYNÉSIE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{q@QCM} 

 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie la réponse choisie}

\medskip
 
Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe $z = - 2\e^{-2\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le complexe $z^3$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $8$&\textbf{b.~~} $ - 8$&\textbf{c.~~} $8\mathrm{i}$&\textbf{d.~~} $- 8\mathrm{i}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un argument de $z$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{c.~~} $- \dfrac{\pi}{3}$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y' - 3y = 2$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
 
Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f(x) = 2\e^{-3x}$ &\textbf{b.~~} $f(x) = \e^{3x} + \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~} $f(x) = \e^{\frac{2}{3}x}$ 
&\textbf{d.~~} $f(x) = \e^{3x} -  \dfrac{2}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 4\pi^2 y = 0$ qui vérifie $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$ admet comme représentation graphique : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\psset{unit=.785cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{unit=1.57cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=100]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{0.405}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.785cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-cos(PI*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{unit=1.57cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=100]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\end{pspicture}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\psset{unit=.785cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-cos(2*PI*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{unit=1.57cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=100]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.785cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{sin(2*PI*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{unit=1.57cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=100]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{2}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (4 points)}\index{a@Suites!} 

 
\og \emph{En 2009, les Français ont en moyenne produit 374 kg de déchets ménagers par habitant.} \fg

Source Ademe

\medskip
 
Le maire d'une commune de \np{53700} habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit \np{23000} tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
 
Cela permit à la ville d'atteindre 400 kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an pendant 5 ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier la déception du maire en 2009. 
\item On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d_{1} = 0, 985d_{0}$. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$. Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$. 
		\item Quelle devrait être, à ce rythme là, la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel $N$ et le réel $d$.}\\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
 &Affecter à $d$ la valeur 400\\ 
Traitement :& Tant que $d > 374$\\ 
	&\hspace{0.5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
	&\hspace{0.5cm} Affecter à $d$ la valeur $0,985d$\\
	&Fin Tant que\\
Sortie :& Afficher $N$ \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner la valeur affichée pour $N$ et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (5 points)}\index{f@Probabilités} 

 
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à  $10^{-3}$  près}

 Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
 
\medskip
  
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
 
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{A. loi normale}}}

\medskip
 

Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle $[16,7 ; 17,3]$.
 
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{B. loi binomiale}}}

\medskip
 
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de 200. On prélève au hasard une boîte dans la production. 

On note $p$ la probabilité de l'évènement : \og la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme \fg.

\medskip
 
On prélève au hasard 200 boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$~boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de  200 boîtes en contient 6 non conformes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $p = 0,03$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de 200 boîtes.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{C. intervalle de fluctuation}}}

\medskip
 
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est : 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]\]

Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 200. 
\item On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de 200 boîtes. Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté 10 boîtes non conformes.
 
Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}



 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (7 points)}\index{b@Fonctions logarithmes} 

 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :$f(x) = 6 \ln x + ax + b$ où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. 

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Le point $A(1~;~1)$ appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
 
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$.
 
L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-9)(12,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.04 .38 .1}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{6*ln(x)-3*x+4}
\def\g{6/x-3}
\def\h{6*x*ln(x)-1.5*x^2-2*x-4.5}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-9)(12,4)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-9)(6,4)
\uput[dl](0,0){0}\uput[dl](6,0){$x$}\uput[dl](0,4){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.1217}{6}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=prune]{.857}{6}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=vert]{.001}{6}{\h}
\uput[d](.7,4){\prune $\Gamma$}
\uput[ur](2.5,2){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[l](3,-5.5){\vert $\Omega$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de $F$. 
\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$. 
\item Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$. 
\item À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, $f(x) = 6\ln x - 3x + 4$.

\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, $f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).$ 
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ puis donner les variations de la fonction $f$. 
\item En déduire que la fonction $f$ admet un extremum dont on calculera la valeur exacte. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip
 
Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : $H(x) = 6x\ln x  - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x$.

 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\e} f(x)\:\mathrm{d}x$. 
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner la valeur de $F(1)$. 
		\item En déduire une expression de $F(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


 \newpage 

\section{POLYNÉSIE SEPTEMBRE 2014} 

\subsection[Exercice 1]{\sf{\bf{EXERCICE 1}}\hfill (4 points)}\index{e@Nombres complexes} 

 
On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : 

\[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \mathrm{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique. 
\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe. 
\item Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique. 
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{annexe } à rendre avec la copie}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
\multido{\n=1+1}{6}{%
\pscircle(0,0){\n} 
}
\multido{\n=30+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-8.5,0)(8.5,0)}
}
\multido{\n=120+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-8.5,0)(8.5,0)}
}
\end{pspicture}
\end{center}


 \newpage 

\subsection[Exercice 2]{\sf{\bf{EXERCICE 2}}\hfill (6 points)}\index{a@Suites!} 

 
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de \np{22000}~\euro. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = \np{22000}$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015. 
\item Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 
\item Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$N$ prend la valeur 0\\ 
$B$ prend la valeur \np{22000}\\ 
Tant que $B \leqslant \np{40000}$\\ 
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0,5cm}$B$ prend la valeur $1,045 \times B$\\
Fin Tant que\\ 
$A$ prend la valeur $N + 2013$\\
Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer à quoi correspondent les variables $N$ et $B$. 
\item Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché. 
\item Expliquer à quoi correspond cette valeur. 
\item La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante : 

\[\np{22000} \times 1,045^x > \np{40000}.\]
 
		\item Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 



 \newpage 

\subsection[Exercice 3]{\sf{\bf{EXERCICE 3}}\hfill (6 points)}\index{c@Fonctions exponentielles} 

 
Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé \og alcoolémie \fg{} et est mesuré en grammes par litre (g/L).

Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\R_{+}$ par :

\[ f(t) = 2,5t\e^{- t}.\]
 
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures. 
\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f'(t) = 2,5(1 - t)\e^{- t}$. 
\item Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
 
\[(E) :\qquad  y' + y = 2,5\e^{- t}.\]
 
\item En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\e^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite. 
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 
\item En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L.
 
Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ?
 
On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsection[Exercice 4]{\sf{\bf{EXERCICE 4}}\hfill (4 points)}\index{f@Probabilités} 

 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}} Loi exponentielle et radioactivité}

\medskip
 
On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que pour tout $t > 0$, $P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t  \lambda\e^{- \lambda x}\dd x$. 

Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :
 
\[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout 
$t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \e^{-\lambda t}$. 
\item Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227.

\emph{On donnera le résultat arrondi à} $10^{-4}$.
\item On suppose que $\lambda = 0,04$.

Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.
\end{enumerate} 

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}} Loi normale et usinage}

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance 3,65 et d'écart type 0,004.
 
\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre 3,645 et 3,655.
 
Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme. 
\item Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79\,\%. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de  100 pièces. 

Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
 
Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

 \newpage
  
\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\null
\vspace{\stretch{1}}
\begin{sffamily}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT STI2D 2014}}

\bigskip

{\Large \textsc{Mathématiques : index thématique}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill
  \begin{itemize}
  \item[] Suites \dotfill \hyperpage{8}, \hyperpage{12}, \hyperpage{15}, \hyperpage{20}, \hyperpage{25}
  \item[] Fonctions logarithmes \dotfill \hyperpage{4}, \hyperpage{11}, \hyperpage{22}
  \item[] Fonctions exponentielles \dotfill \hyperpage{26}
  \item[] Nombres complexes \dotfill  \hyperpage{3}, \hyperpage{6}, \hyperpage{24}
  \item[] \'Equations différentielles \dotfill \hyperpage{7}, \hyperpage{18}
  \item[] QCM \dotfill \hyperpage{1}, \hyperpage{10}, \hyperpage{17}, \hyperpage{19}
  \item[] Probabilités \dotfill \hyperpage{2}, \hyperpage{5}, \hyperpage{14}, \hyperpage{16}, \hyperpage{21}, \hyperpage{27}
\end{itemize}
\hrulefill

\end{ModifMarges}
\vspace{\stretch{2}}
	\end{sffamily}


 \end{document}
