\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,amssymb,amsbsy,amscd,mathrsfs}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{fourier}
%\usepackage{times,mathptmx}
%\DeclareSymbolFont{lmodern}{U}{euex}{m}{n}
%\DeclareMathSymbol\infty \mathord{lmodern}{"31}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont} % pour les symboles des ensembles
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx} % inclure le fichier graphique de pondichery 2010
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{hhline}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{xcolor,colortbl}
\usepackage{pstricks,pst-all,pst-plot,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot,pst-func}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty=10000 
\tolerance=2000
\emergencystretch=1em
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\raggedbottom
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage{ifthen}
\setcounter{secnumdepth}{0}
\newrgbcolor{violetf}{.332 .1 .545}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{Vfond}{.88 .92 .88}
\newrgbcolor{vertgris}{.756 .804 .756}
\newrgbcolor{verttf}{.05 .36 .15}

\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bleu\centering\huge\bfseries\textsf}}                                  
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\prune\large\bfseries\textsf}}                                   
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\blue}}
\makeatother
                               
\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\Roman {section}. \arabic {subsection}}

\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx

\newcounter{nexo}[section]
\setcounter{nexo}{1}
\makeatletter \@addtoreset{nexo}{subsection}\makeatother

\newcounter{nbexercices}


\newcommand{\Numexo}{ 
  \stepcounter{nexo}{\textsf{\textbf{EXERCICE \arabic {nexo}}}}
  \refstepcounter {nbexercices}
  }

\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\C}{\mathds {C}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\,\mathrm{d}}
\DecimalMathComma

\usepackage[firstpage]{draftwatermark}
 \SetWatermarkFontSize{4cm}
 \SetWatermarkScale{1}
  \SetWatermarkColor{vertgris}
\SetWatermarkText{\textbf{\textsf{S\'ERIE STI2D}}}


\makeindex 


\begin{document}

\begin{titlepage}
\sffamily{
\begin{center}

\begin{pspicture*}(16,4.5)
\DeclareFixedFont{\bigsf}{T1}{phv}{b}{n}{4cm}
\DeclareFixedFont{\smallrm}{T1}{ptm}{m}{n}{3mm}
\psboxfill{\smallrm \verttf mathématiques}
\psset{fillstyle=solid,fillcolor=Vfond,linecolor=verttf,linewidth=1.25pt}
\rput[b](3.5,0.1){
\pscharpath[addfillstyle=boxfill,
fillangle=45,fillsep=0.5mm]
{\rput[b](0,0){\bigsf BAC}}}
\rput[bl](16,0.1){
\pscharpath[addfillstyle=boxfill,fillangle=45,fillsep=0.5mm]
{\rput[br](0,0){\bigsf 2018}}}
\end{pspicture*}


\vspace{\stretch{2}}

{\color{verttf}\Huge{\textbf{\MakeUppercase{annales d'exercices regroupés par thème}}}
 
\vspace{\stretch{.5}}
\huge{\textbf{\MakeUppercase{Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable}}}}
  
\end{center}
\vspace{\stretch{1}}
 \hrulefill


{\color{verttf}\large{
Ce document, rassemble l'ensemble des exercices, classés par thèmes, des sujets du baccalauréat de la série STI2D de la session 2018. De par la nature même de l'épreuve, les exercices peuvent recouvrir plusieurs thèmes.

\medskip

Les exercices sont regroupés sous les rubriques suivantes :

\begin{itemize}
	\item Suites
	\item \'Etude de fonctions	
	\item \'Equations différentielles	
	\item Probabilités
	\item QCM 
	\item VRAI-FAUX 
\end{itemize}
}}
\medskip

\hrulefill

\vspace{\stretch{1}}
\begin{center}
{\color{verttf}\Large{\bf {\textsf {Les exercices proposés sont établis à partir des sujets mis en ligne par {D.~Vergès} sur le site de L' A.P.M.E.P}}}}
\end{center}
}
\end{titlepage}


\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\contentsname}{
\color{black}{\Large \textsf{\textsc{{sommaire des exercices de la session 2018}}}}

\vspace{\stretch{1}}

\hrulefill
}

\textsf{\tableofcontents}

\hrulefill

\vspace{\stretch{2}}

\rfoot{\scriptsize{\textsf{\thepage{}}}}
  
\newpage

\pagenumbering{arabic}

 \lhead{\footnotesize{\textsf{\textsc{baccalauréat STI2D session 2018}}}}
 \rhead {\footnotesize\textsf{\textsc{\leftmark}}} 
 \lfoot{\scriptsize\textsf{\textsc{\rightmark}}}  
 \cfoot{\scriptsize{\textsf{-~\thepage{}~-}}}                                                     
\rfoot{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (\htmladdnormallink{\scriptsize\textsf{\textsc{MATH@ES}}}{http://yallouz.arie.free.fr})}}}}

\section{SUITE} 
 
\subsubsection[Antilles Guyane 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2018 }(3) \index{Antilles Guyane 2018}}
Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent.

Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes.

Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait :

\og Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de \np{40000} pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. \fg

\medskip

On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textsf{\textbf{Année}} & \textsf{\textbf{Quantité de pales produites pendant l'année}}\\ \hline
2001 & 800\\ \hline
2008 & 2002\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
		\item On considère l'algorithme suivant :
		
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.5\linewidth}

$S \gets 0$

Pour $i$ allant de $0$ à $15$

\begin{itemize}
\item[] $S \gets S +\mathrm{ARRONDI}\,\left(800 + 578\ln (i + 1)\right)$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}		


On précise que $\mathrm{ARRONDI}\,(x)$ signifie : calculer la valeur arrondie de $x$ à l'entier le plus proche.

Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur \np{30529}. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
		\item On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par : \[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times  \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]
		
Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
		\item Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation.

On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$.

Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(0 \leqslant X \leqslant 5\right)$.
\item Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
\item  Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2018 }(2) \index{France métropolitaine, La Réunion 2018}}
Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d'eau et des poissons.

Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2\,\% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d'eau.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ?
\item Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4\,\% du volume d'eau initial se seront évaporés ? Justifier.
\item Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2\,\%.

On note $u_0$ le volume initial d'eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des 5 litres d'eau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_2 = 278,812$.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+ 1} = 0,98 u_n + 5$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U \gets 280$

Pour $k$ allant de $1$ à \ldots

\begin{itemize}
\item[] $U \gets \ldots$
\end{itemize}
Fin Pour
\end{minipage}
}
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $U$ contienne $u_6$.
		\item Quel est le volume d'eau dans l'aquarium, en litres à $10^{-2}$ près, 6 semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau.
	\end{enumerate}	
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 250$. 
	
On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 30 \times  0, 98^n + 250$.
		\item Justifier que la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est respectée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2018 }(4) \index{Nouvelle Calédonie 2018}}\begin{enumerate}
\item Une commune de \np{2000} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 5\,\% tous les ans. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_0 = \np{2000}$. 

La suite $\left(h_n\right)$ est une suite géométrique. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$. 
\end{enumerate}


La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{16000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9\,\% par an. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$. 

On modélise ainsi le débit par la suite $\left(d_n\right)$. On a alors $d_n = \np{16000} \times  1,029^n$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} 
\item On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle. 

Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$  et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_0$ et $u_1$. 
		\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0,98^n$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques. 
		\item Déterminer la limite de la $\left(u_n\right)$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
	\end{enumerate}
\item Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. 

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant. 

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$U\gets 8$

$N \gets 0$

Tant que $U \ldots $
\begin{itemize}
\item[] $U \gets \ldots$
\item[] $N \gets N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

		\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2018 }(2) \index{Polynésie 2018}}
\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules \og 100\,\% électriques \fg{} en France.

Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{\linewidth-2em}
\begin{center}
\Large
\textsf{\textbf{La France célèbre son 100\ieme{} véhicule}}

\textsf{\textbf{\og 100\,\% électrique \fg{}, une première en Europe !}}
\end{center}

\medskip

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires \og 100\,\% électrique \fg{} a franchi le cap des \np{100000} immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

\medskip
\begin{center}
\textsf{\textbf{\textsc{la route vers les \np{100000} véhicules 100\,\% électrique!}}}

\medskip

\psset{xunit=1.6cm,yunit=.8cm}

\begin{pspicture}(0,-1)(8,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,10)
\psaxes[xlabelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,yAxis=false,Ox=2009](0,0)(8,10)
\uput[d](4,-.5){\bleu{\textsf{Cumul des immatriculations au 31 décembre de chaque année}}}
\psset{yunit=.8mm,dotscale=.8}
\psline[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt,showpoints](1,.98)(2,5.293)(3,14.607)(4,28.651)(5,43.606)(6,65.793)(7,93.1)
\footnotesize{\bleu{\textsf{
\uput[u](1,.98){980}\uput[r](2,5.293){5293}\uput[r](3,14.607){14607}\uput[r](4,28.651){28651}\uput[l](5,43.606){43606}\uput[l](6,65.793){65793}\uput[ur](7,93.1){93100}
}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de \np{350000} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés.

\medskip

\footnotesize{\textsf{D'après l'association Avere-France}}
\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout \np{65793} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1\,\%.
\end{enumerate}

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France sera constante et égale à 40\,\%.

Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$.

Ainsi on a $u_0 = \np{93100}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} en France au 31 décembre 2017.
\item Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
\item L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France dépassera \np{1000000} avec ce modèle.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.

\medskip
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$n \gets 0$

$u \gets \np{93100}$

Tant que $\ldots \ldots \ldots$
\begin{itemize}
\item[] $n \gets \cdots \cdots \cdots$
\item[] $u\gets  \cdots \cdots \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

\medskip

\item Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème ?
\item Quelle est la valeur de cette variable ?
\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}.

La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.

On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
\item Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item Déterminer le réel $t_0$ tel que $P\left(T>t_0\right)=0,75$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2018 }(3) \index{Polynésie septembre 2018}}
La consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en France comprend les soins hospitaliers, les soins ambulatoires (médecins, dentistes, auxiliaires médicaux, laboratoires d'analyse, thermalisme), les transports sanitaires, les médicaments et les autres biens médicaux (optique, prothèses, petit matériel et pansements).

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

En 2008, la CSBM s'élevait à 164,7 milliards d'euros. Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le Gouvernement souhaitait que les dépenses liées à la CSBM n'augmentent que de 2\,\% par année.

On modélise l'évolution souhaitée par le Gouvernement par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le montant, en milliards d'euros, des dépenses pour l'année $(2008 + n)$.

On a donc $u_0 = 164,7$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $u_7$. On donnera la valeur arrondie au dixième.
\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la CSBM réelle en milliards d'euros depuis l'année 2008 en France.

Dans cette partie, on ne demande pas de compléter le tableau.

\begin{center}\emph{Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2008}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &\multicolumn{1}{c|}{A} & B  & C  & D  & E  & F  & G  & H  & I\\ \hline
1 & Année  & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\ \hline
2 & CSBM en milliards d'euros & 164,7 & 169,8 & 173,5 & 178,7 & 182,6 & 186,1 &191,2 &194,0\\ \hline
3 & Évolution en pourcentage &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} & & & & & & &\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source : Drees, comptes de la santé (édition 2016)}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 arrondi à 0,01\,\% .
		\item  Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage. Proposer une formule à entrer en C3 qui, recopiée vers la droite jusqu'en I3, permet de déterminer le taux d'évolution en pourcentage des dépenses entre deux années consécutives.
	\end{enumerate}
\item À partir de 2015, on suppose que la CSBM augmentera de $2,4$\,\% par année.
	
On veut déterminer, à l'aide de l'algorithme ci-dessous, l'année à partir de laquelle la CSBM dépassera $300$ milliards d'euros.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$N \gets 0$

$V \gets 194$

Tant que $\cdots \cdots$
\begin{itemize}
\item[] $N \gets \cdots$
\item[] $V \gets \cdots$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme.
		\item Quelle est la valeur de la variable $N$ après exécution de l'algorithme ?
		\item En quelle année la CSBM dépassera-t-elle les $300$~milliards d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{\'ETUDE DE FONCTIONS} 

 \subsection{FONCTION LOGARITHME} 

 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2018 }(3) \index{France métropolitaine, La Réunion 2018}}
Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation

\[N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times  D^2}\right)\]

où $N$ est exprimé en décibels $(\mathrm{dB})$, $P$ en Watts $(\mathrm{W})$ et $D$ en mètres $(\mathrm{m})$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\emph{Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le niveau sonore $N$ d'un bruit entendu à 10 mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à  2,6~Watts. On arrondira le résultat à l'unité.
\item On donne $N = 84\,\mathrm{dB}$ et $D = 10\,\mathrm{m}$. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à 0,026~Watts.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation :
		
\[N = 120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right).\]
		\item Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}	

Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,1 ; 20]$ par : $f(x) = 95,14 - 8\ln (x)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0,1 ; 20]$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,1 ;  20]$.
	\end{enumerate}
\item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine.
	
La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu'un risque apparaît.
	
Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textsf{\textbf{Impacts sur l'audition}} & \textsf{\textbf{Niveaux sonores en décibels}}\\ \hline
Aucun 			& $[0 ; 85[$ \\ \hline
Risque faible	& $[85 ; 90[$ \\ \hline
Risque élevé	& $[90 ; 120[$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90\,\mathrm{dB}$).
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On s'intéresse au lien entre la puissance $P$ d'un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$.


\begin{center}
\psset{unit=150cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.005,-0.5)(0.09,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.91 .92 .89}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{unit=.3cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,griddots=6,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(45,45)
\psset{unit=1.5cm}
\multido{\n=1+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=1+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,9)}
\psset{unit=150cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.01,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(0.09,18)
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{0}{.07}{EXP(15-94.1/8)*(x/13)^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{0}{.07}{EXP(15-90/8)*(x/13)^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{0}{.07}{EXP(15-85/8)*(x/13)^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{0}{.07}{EXP(15-79.8/8)*(x/13)^.5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500]{0}{.053434}{EXP(15-74.9/8)*(x/13)^.5}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=prune](0.02,11)\uput[ur](0.02,11){\prune{$A$}}
\uput[r](0.054,17.6){\bleu{$\mathcal{C}_{N=74,9}$}}
\uput[r](0.07,11.2){\bleu{$\mathcal{C}_{N=79,8}$}}
\uput[r](0.07,5.8){\bleu{$\mathcal{C}_{N=85}$}}
\uput[r](0.07,3.1){\bleu{$\mathcal{C}_{N=90}$}}
\uput[r](0.07,1.7){\bleu{$\mathcal{C}_{N=94,1}$}}
\uput[d](0.088,0){$P$}
\uput[l](0,18){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}


On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02 ; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06\,\mathrm{W}$, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90\,\mathrm{dB}$.
\item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8\,\mathrm{m}$, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9\,\mathrm{dB}$ et $79,8\,\mathrm{dB}$.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\subsection{FONCTION EXPONENTIELLE} 

\subsubsection[Antilles Guyane 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2018 }(2) \index{Antilles Guyane 2018}}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,5)
\newrgbcolor{C0}{0.38 0.25 .22}
\newrgbcolor{C1}{.62 0.48 .45}
\newrgbcolor{C2}{.42 .56 .72}
\newrgbcolor{C3}{.92 .88 .79}
\newrgbcolor{C4}{.80 .72 .62}
\newrgbcolor{C5}{.71 .74 .81}
\psset{Alpha=150,Beta=27}
\pstThreeDCoor[xMin=-5,xMax=5,yMin=-5,yMax=5,zMin=-5,zMax=5,drawing=false]
\pscustom[linecolor=C3, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\pstThreeDLine(0,0,2)(-1,0,2)(-1,3,2)(0,3,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  3 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,3,0)(3,3,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](3,5){ t  3 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pstThreeDLine(5,3,2)(5,0,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](5,3){ t  0 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pstThreeDLine(3,0,0)(2,0,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](2,0){ t  0 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
}
\psset{linecolor=C4, linewidth=1pt}
\pstThreeDLine(-1,1,2)(0,1,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  1 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,1,0)(3,1,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](3,5){ t  1 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pstThreeDLine(-1,2,2)(0,2,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  2 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,2,0)(3,2,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](3,5){ t  2 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pstThreeDLine(-1,3,2)(0,3,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  3 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,3,0)(3,3,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](3,5){ t  3 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pscustom[linecolor=C4, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\pstThreeDLine(5,0,2)(5,3,2)(6,3,2)(6,0,2)
}
\psset{linecolor=C4, linewidth=1pt}
\pstThreeDLine(0,0,2)(0,3,2)\pstThreeDLine(2,0,0)(2,3,0)\pstThreeDLine(3,0,0)(3,3,0)\pstThreeDLine(5,1,2)(6,1,2)\pstThreeDLine(5,2,2)(6,2,2)
\pscustom[linecolor=C0, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\pstThreeDLine(-1,0,-.2)(-1,0,2)(0,0,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  0 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,0,0)(3,0,0)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](3,5){ t  0 .5 t dup mul mul 3 t mul sub 4.5 add 2.71828  t 5 sub exp mul}
\pstThreeDLine(5,0,2)(6,0,2)(6,0,-.2)(-1,0,-.2)
}
\psset{linecolor=C2, linewidth=3pt}
\pstThreeDLine(-1,0,0)(-1,0,3.5)(-1,3,3.5)(-1,3,2)(-1,0,2)
\pstThreeDLine(-1,0,2.75)(-1,3,2.75)\pstThreeDLine(-1,1,3.5)(-1,1,2)\pstThreeDLine(-1,2,3.5)(-1,2,2)
\pstThreeDLine(6,0,0)(6,0,3.5)(6,3,3.5)(6,3,2)(6,0,2)
\pstThreeDLine(6,0,2.75)(6,3,2.75)\pstThreeDLine(6,1,3.5)(6,1,2)\pstThreeDLine(6,2,3.5)(6,2,2)
\pscustom[linecolor=C2, linewidth=3pt,fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\pstThreeDLine(6,0,0)(6,0,2)(6,3,2)(6,3,0)
}
\pscustom[linecolor=C3, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\pstThreeDLine(6,0,-.2)(6,0,0)(6,3,0)(6,3,-.2)(6,0,-.2)
}
\end{pspicture}
\end{center}

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(6.5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.91 .92 .89}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x^2-2*x+2)*EXP(-x)}
\def\g{(.5*x^2-3*x+4.5)*EXP(x-5)}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psline(-1,-.2)(-1,2)(0,2)\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,]{0}{2}{\f}
\psline(2,0)(3,0)\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{3}{5}{\g}
\psline(5,2)(6,2)(6,-.2)
\psset{linewidth=2pt, linecolor=bleu}
\psline(-1,2)(-1,2.75)\psline(-1.5,-.2)(6.5,-.2)\psline(6,2)(6,2.75)
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(6,0)
\psset{linewidth=.5pt, linecolor=black}
\psline{<->}(-1.25,0)(-1.25,2)\psline{<->}(-1,2.25)(0,2.25)\psline{<->}(2,-.45)(3,-.45)\psline{<->}(-1,-1)(6,-1)\psline{<->}(5,2.25)(6,2.25)\psline{<->}(6.25,2)(6.25,-.2)
\psline{->}(1.8,1.9)(.5,.7)\psline{->}(3.2,1.9)(4.5,.7)\psline{->}(2.5,.5)(2.5,0)\psline{->}(-1.5,2.75)(-1,2.5)\psline{->}(6.5,2.75)(6,2.5)\psline{->}(-1.25,-.75)(-.25,.25)\psline{->}(6.5,-.5)(6.4,-.2)
\psset{linewidth=.5pt, linecolor=black,linestyle=dashed,dash=3pt 2pt}
\psline(-1.25,0)(-1,0)\psline(-1.25,2)(-1,2)\psline(0,2)(0,2.25)\psline(2,0)(2,-.45)\psline(2,0)(2,-.45)\psline(3,0)(3,-.45)\psline(5,2)(5,2.25)\psline(6,2)(6.25,2)\psline(-1,-.2)(-1,-1)\psline(6,-.2)(6,-1)
\footnotesize{
\uput[l](-1.25,1){2 mètres}
\uput[u](-.5,2.25){1 mètre}
\uput[d](2.5,-0.45){1 mètre}
\uput[d](2.5,-1){7 mètres}
\uput[u](5.5,2.25){1 mètre}
\uput[r](6.25,.9){2,2 mètres}
\uput[u](2.5,2){parties incurvées}
\uput[d](2.5,2){de la rampe}
\uput[u](2.5,.75){partie horizontale}
\uput[d](2.5,.75){de la rampe}
\uput[ul](-1,2.75){balustrade}
\uput[ur](6,2.75){balustrade}
\uput[u](-1.5,-.75){zone}
\uput[d](-1.5,-.75){à peindre}
\uput[d](6.5,-.5){sol}
}
\uput[u](2,0){\bleu{\textsf{A}}}\uput[u](3,0){\bleu{\textsf{B}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de $\left[AB\right]$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 2]$ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\e^{-x}\] où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer.

On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(2.5,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x^2-2*x+2)*EXP(-x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(2.5,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](2.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{2}{\f}
\uput[r](0.4,1){\bleu $\mathcal{C}$}\uput[r](0,2){\bleu\footnotesize{$H$}}\uput[u](2,0){\bleu\footnotesize{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}


On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(2 ; 0)$ et $H(0 ; 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
\item Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
\item  Déterminer l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 2]$ par : \[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\e^{-x}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ est l'axe des abscisses.
\item Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur $[0 ; 2]$.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0 ; 2]$.
\item On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \dfrac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\e^{-x}$ sur l'intervalle
$[0 ; 2]$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; 2]$.

Montrer que l'aire en $\mathrm{m}^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\e^2}$.
\item En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à $0,01 \mathrm{m}^2$ près.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018 }(3) \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018}}
Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de \np{550000} tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.


Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle  $[0 ; 600]$ par :\[f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\e^{- 0,01x}\]
où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle  $[0 ; 600]$, \[f'(x) = \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\e^{- 0,01x}.\]

		\item  Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle  $[0 ; 600]$, \[f'(x) = 0,002(- x + 150)(x + 100)\e^{- 0,01x}\]
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle  $[0 ; 600]$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle  $[0 ; 600]$.
		\item En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale.
		
Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
 	\end{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.25)(13,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(x+3)*EXP(-.5*x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(13,5)
\psset{xunit=0.02cm,yunit=0.02mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=50, Dy=500]{->}(0,0)(-10,-100)(650,2500)
\psset{unit=1cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](13,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}	
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{12}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue.

Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à \np{1000} tonnes.

Répondre avec la précision permise par le graphique.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
\multirow{2}*{1} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} $f(x) = \left(0,2 * x{\wedge}2 + 30* x\right) * \text{exp}(- 0,01 * x)$\\
	& \multicolumn{1}{r@{\hspace{.5em}}|}{$\left(0,2x^2 + 30x\right)\mathrm{exp}(- 0,01x)$}\\ \hline
\multirow{2}*{2} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} intégrer $(f(x), x)$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{.5em}}|}{$\left(- 20x^2 - \np{7000}x- \np{700000}\right)\mathrm{exp}(- 0,01x)$}\\ \hline
	\multirow{2}*{3} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} intégrer $(f(x), x,0,600)$\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{.5em}}|}{$\np{-12100000} \mathrm{exp}(- 6) + \np{700000}$}\\ \hline
	\multirow{2}*{4} & \rule[-1ex]{0pt}{3ex} approcher(intégrer $(f(x), x, 0, 600)$)\\
	&\multicolumn{1}{r@{\hspace{.5em}}|}{\np{670007,098662}}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
		\item Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600\up{e} jour d'exploitation est donnée par :\[I= \displaystyle\int_0^{600}  f(x)\:\text{d}x.\]
		
La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de 600 jours ?
	\end{enumerate}
\item Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de 400 jours.
	
Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2018 }(4) \index{Polynésie 2018}}

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La droite $(d)$ est tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(9,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*EXP(-2*x)+1}
\def\g{4-6*x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(9,11)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.5,comma]{->}(0,0)(-1,-.499)(4.5,5.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.25}{.75}{\g}\psline[linestyle=dashed,linecolor=prune,linewidth=1pt](-1,1)(4.5,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.202}{4.5}{\f}
\uput[u](.75,.5){\footnotesize{\prune{$(d)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Donner par lecture graphique :

\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$.
\item La limite de $f$ en $+\infty$.
\item Le tableau de variation de $f$.
\item Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On considère l'équation différentielle $y'+2y=2$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\R$.

On admet que la fonction représentée dans la partie A est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=4$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=3\e^{-2x}+1$.
\item Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions 2., 3. et \textbf{4.} de la  partie A.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

L'unité graphique est le $\mathrm{dm}$ (décimètre).

On a représenté graphiquement ci-dessous la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe obtenue.

\begin{center}
\psset{unit=.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(45,43)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*EXP(-2*x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,griddots=4,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-3)(45,43)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=1+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-1,\n)(9,\n)}
\multido{\n=1+1}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-.6)(\n,8.6)}
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.5,comma]{->}(0,0)(-.5,-.3)(4.5,4.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4.3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{4}{\f}
\uput[u](3.5,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On fait tourner la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.

On génère ainsi une surface dans l'espace ayant la forme d'un vase représenté ci-après en coupe et en perspective.

\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.18 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*EXP(-2*x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(6,6)
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.25pt, linecolor=C1]{0}{4}{\f} \gsave
\psline(4,1.01)(4,-1.01)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{4}{0}{-3*EXP(-2*x)-1}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C1] \grestore }
\multido{\n=0+10}{18}{\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0}{4}{cos(\n)*(3*EXP(-2*x)+1)}}
\end{pspicture}\hfill \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-6)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.18 .48}
\newrgbcolor{C2}{1 .42 .68}
\psset{Alpha=120,Beta=0}
\pstThreeDCoor[xMin=-5,xMax=5,yMin=-5,yMax=5,zMin=-5,zMax=5,drawing=false]
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0,0)(0,4,0)(0,0,4)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=40,yPlotpoints=36,linecolor=bleu, linewidth=.75pt](0,4)(0,360){t 3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u cos mul  3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u sin mul}
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C2](4,0,0)(0,1.001,0)(0,0,1.001)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=bleu,linewidth=1pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20,fillstyle=solid,fillcolor=white](112,246){4 1.001 t cos mul 1.001 t sin mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20](-70,80){2.6 1.01655 t cos mul 1.01655 t sin mul}
}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Le volume de ce vase, en $\mathrm{dm}^3$, est donné par : \[V=\pi \times \displaystyle\int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \dd x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x \in [0 ; 4]$, on a $\left ( f(x)\right )^2 = 9\e^{-4x} + 6\e^{-2x}+1$.
\item Calculer le volume du vase, exprimé en dm$^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de $3\,\mathrm{dm}^3$. Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{\'EQUATIONS DIFF\'ERENTIELLES} 

 \subsubsection[Antilles Guyane 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2018 }(1) \index{Antilles Guyane 2018}}
Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau.

Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, \ldots), on utilise des bétons de compositions différentes.

Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour.

On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$, qui est une solution sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' + 0,15y = 4,5.\]


\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0 ; +\infty[$.
\item À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle.

Montrer alors que $f$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par \[f(t) = -30\e^{- 0,15t} + 30.\]

\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$~MPa.

Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018 }(2) \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018}}
Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.

À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la base nautique s'occupe de celle du bassin.

Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de 68 microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgramme par litre $\left(\mathrm{\mu g/L}\right)$, dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration de benzène en $\mathrm{\mu g/L}$ & $[0 ; 0,5[$ & $[0,5 ; 5[$ & $[5 ; 50[$ & $[50 ; \np{5000}[$ & $\geqslant \np{5000}$\\ \hline
Qualité de l'eau & Excellente & Bonne & Moyenne & Médiocre & Mauvaise\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de 750 euros par jour.

La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\textsf{Élimination du benzène de façon naturelle}

\medskip

Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de 7\,\% par jour, notamment par évaporation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la qualité de l'eau le 10 juin 2018 ?
		\item Quelle serait la qualité de l'eau le 11 juin 2018 ?
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgramme par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item  Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item  Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
		\item  Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|X|m{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 2}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}	
$u \gets 68$ & & $u \gets 68$\\ 
$n \gets 0$ & & $n \gets 0$\\ 
Tant que $u \geqslant 0,5$ & & Tant que $u < 0,5$\\ 
\hspace{1em} $u \gets 0,93u$ & & \hspace{1em} $u \gets 0,93u$\\ 
\hspace{1em} $n \gets  n+1$ & & \hspace{1em} $n \gets  n+1$\\ 
Fin Tant que & & Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

Quel est celui qui permettrait de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente ?
		\item  Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$.

Indiquer la démarche utilisée.
		\item Interpréter le résultat précédent.
		\item En déduire la perte financière qui résulterait de la fermeture de la base si cette solution était retenue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

\textsf{Élimination du benzène par traitement au charbon actif}

\medskip

Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est de \np{20000} euros.

Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$ microgrammes par litre.

Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgramme par litre à la surface du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur  $[0 ;  + \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle :

\[(E)\qquad  y' + \dfrac{1}{4}y = 0\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0 ;  + \infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
\item Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$, $f(t) = 54,7\e^{-0,25t}$.
\item Quelle serait la qualité de l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre ?
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\textsf{Comparaison des deux solutions étudiées}

\medskip

Laquelle des deux solutions envisagées est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique ?


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2018 }(1) \index{Nouvelle Calédonie 2018}}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }


Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités. 

À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre. 


On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort ($t$ exprimé en milliers d'années). 

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On admet que $f$ est une solution sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation différentielle :\[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]


\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\e^{-0,124t}$  sur  $[0 ; +\infty[$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$. 
\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip  

On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années). 

\begin{enumerate}
\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à 7,27 unités. 

Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans. 
\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à 0,3\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. 

Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14. 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2018 }(4) \index{Polynésie septembre 2018}}
 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $\omega$ définie pour tout réel positif $t$ par :

\[\omega(t) = 4 \e^{-200t} + 146.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $\omega$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\omega(0)$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $\omega$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
	\end{enumerate}
\item On note $\omega'$ la fonction dérivée de la fonction $\omega$ sur l'intervalle  $[0 ; + \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel positif $t$, calculer $\omega'(t)$.
		\item Étudier le signe de $\omega'$ sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $\omega$ sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de $150\,\mathrm{rad.s^{-1}}$.

On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.

Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en $\mathrm{rad.s^{-1}}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre cette équation différentielle.
		\item Vérifier que la fonction $\omega$ étudiée dans la  partie A est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $\omega(0) = 150$.
 	\end{enumerate}
\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $\omega(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $\omega$, déterminés dans la  partie A.
\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en $\mathrm{rad.s^{-1}}$, est stabilisée lorsque la quantité $\dfrac{\omega(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{PROBABILIT\'ES} 

 \subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2018 }(4) \index{France métropolitaine, La Réunion 2018}}
Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes \og SECUR \fg{}. Équipées d'un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché.

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Avant de débuter son projet, l'industriel s'intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes.

Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{3000}$ et d'écart type $\sigma = 750$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P\left(\np{1500} \leqslant X \leqslant \np{4500}\right)$.
\item Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de \np{2500}~euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant où $a$ désigne un nombre entier naturel.
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
$a$			& $P\left(X \leqslant a\right)$\\ \hline
\np{3950} 	&\np{0,8974}\\ \hline
\np{3960}	&\\ \hline
\np{3970}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer le montant minimal, à l'euro près, tel qu'au moins 90\,\% des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.
\item L'industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée \og SECUR\fg{} ne devra pas dépasser de plus de 15\,\% le montant minimal précédent.

Quel prix de vente maximal $M$, à l'euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle \og SECUR\fg{} ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

L'industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle \og SECUR \fg{} au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. 

Une enquête est réalisée sur un échantillon de $984$ personnes intéressées par l'achat d'une porte blindée. Sur cet échantillon, $123$ personnes se disent favorables à l'achat du modèle \og SECUR \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.75em]{
\begin{minipage}{\linewidth-1.5em}
\emph{On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $95$\,\% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par :} \[\left[f - 1, 96)\sqrt{\frac{f(1 -  f)}{n}} ; f + 1, 96)\sqrt{\frac{f(1 -  f)}{n}}\right].\]
\end{minipage}
}
\end{center}
\item  Pour que l'industriel prenne le risque d'investir dans les portes \og SECUR\fg, il faudrait qu'au minimum 20\,\% des personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. 

A-t-il intérêt à réaliser son projet ?
 \end{enumerate}
 

 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018 }(4) \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018}}
\begin{center}
\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\emph{Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.}
\end{center}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement entre les rangées de sièges.

L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$.

Un passager adulte est choisi au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48 cm et 62 cm.
		\item Calculer la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm.
 	\end{enumerate}
\item  Sur cet avion comportant 334 sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65 cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement est alors égale à 0,977.
	
On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par une variable aléatoire $X$.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
		\item Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, 326 personnes pourraient s'asseoir confortablement.
		\item Calculer $P(X \geqslant 330)$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une place se présente à l'embarquement est égale à 0,9.

La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à 335 pour 334 sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement.

$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$. Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|}\hline
	&A		&B\\ \hline
1 	&Nombre $n$ de places vendues& $p_n$\\ \hline
2 & 353 &\np{0,0006}\\ \hline
3  & 354 &\np{0,0012}\\ \hline
4  & 355 	&\np{0,0023}\\ \hline
5 & 356	&  \\ \hline
6 & 357 & \np{0,0070}\\ \hline
7 & 358 & \np{0,0115}\\ \hline
8 & 359 & \np{0,0183}\\ \hline
9 & 360 & \np{0,0280}\\ \hline
10 & 361 & \np{0,0414}\\ \hline
11 & 362 & \np{0,0594}\\ \hline
12 & 363 & \np{0,0826}\\ \hline
13 & 364 & \np{0,1116}\\ \hline
14 & 365 & \np{0,1468}\\ \hline
15 & 366 & \np{0,1883}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer à $10^{-4}$ près la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.
\item Combien de billets au maximum la compagnie peut-elle vendre si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$\,\% ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2018 }(2) \index{Nouvelle Calédonie 2018}}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. }

La société Héliocel fabrique des cellules photovoltaïques destinées à être assemblées pour former des panneaux solaires qui seront ensuite installés sur le toit d'habitations pour produire de l'électricité. 

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On estime que 5\,\% des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables. 

On prélève au hasard un lot de 80 cellules dans la production pour vérification. Le nombre de cellules produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 80 cellules. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 80 cellules, associe le nombre de cellules inutilisables. 

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 
\item Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ? 
\item Un panneau solaire est constitué de 75 cellules. 

Quelle est la probabilité d'avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ? 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Après amélioration sur sa chaîne de fabrication, la société annonce une proportion de 3\,\% de cellules inutilisables. 

Afin de vérifier cette annonce, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 180 cellules et observe que 9 cellules sont inutilisables. 

Cette observation remet-elle en cause l'annonce de la société ? 

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

Une famille décide d'installer 15 de ces panneaux solaires sur le toit de sa maison pour produire de l'électricité. 

La production électrique dépend de l'ensoleillement. 

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique (en kWh) fournie par ces 15 panneaux. 

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 9$ et d'écart-type $\sigma = 3$. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh ? 
\item Parmi les trois fonctions de densité de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être celle de la loi de $Y$ ? Justifier. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.15 .54 .38}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.5pt,gridcolor=black,griddots=20,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(12,7)
\psset{xunit=.5cm,yunit=20cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=.05,comma]{->}(0,0)(24,.35)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,5.5){\footnotesize{$y$}}
\psGauss[sigma=1.5,mue=9,linecolor=vert,linewidth=1.25pt]{0}{18}\uput[u](9,0.27){\vert $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[sigma=3,mue=9,linecolor=prune,linewidth=1.25pt]{0}{22}\uput[u](9,0.135){\prune $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[sigma=3,mue=12,linecolor=bleu,linewidth=1.25pt]{0}{24}\uput[u](12,0.135){\bleu $\mathcal{C}_3$}
\uput[u](.75,.5){\footnotesize{\prune{$(d)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item La consommation moyenne de cette famille est 13 kWh/jour. 

Quelle est la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne ?
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2018 }(3) \index{Polynésie 2018}}
\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$.

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\item On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$.

On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$.

En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
\begin{enumerate}
\item entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Depuis quelques temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs.

Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout.

L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95\,\%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$ ? Justifier la réponse.


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2018 }(2) \index{Polynésie septembre 2018}}
\begin{center}
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}
\end{center}


Un pâtissier utilise une machine pour fabriquer des gâteaux au chocolat pesant en moyenne 500 grammes. Pour être commercialisable, un gâteau doit peser entre 485 grammes et 515 grammes.

La masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart type $\sigma = 11$.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la masse d'un gâteau au chocolat soit supérieure à 515 grammes.
\item Calculer la probabilité $p$ qu'un gâteau au chocolat choisi au hasard dans la fabrication soit commercialisable.
\item Le pâtissier trouve cette probabilité $p$ trop faible.

Il décide de modifier ses méthodes de fabrication afin de faire varier la valeur de l'écart type sans modifier celle de l'espérance $\mu$.

On désigne par $Y$ la nouvelle variable aléatoire modélisant la masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat.

Cette variable aléatoire suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma'$.

Déterminer une valeur approchée de $\sigma'$ pour que la probabilité qu'un gâteau au chocolat soit commercialisable ait pour valeur approchée 0,95.
 \end{enumerate}
 
\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Le pâtissier utilise une balance électronique. La durée de fonctionnement sans dérèglement, en jour, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

 
\begin{enumerate}
\item On admet que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est égale à $0,913$.

Déterminer la valeur exacte de $\lambda$ puis la valeur arrondie au millième.
\end{enumerate}

Dans la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Déterminer la probabilité que la balance électronique se dérègle durant les $90$ premiers jours. Arrondir le résultat au millième.
\item  Le vendeur de cette balance électronique a assuré au pâtissier qu'il y a une chance sur deux que la balance ne se dérègle pas avant 365 jours. A-t-il raison  ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{QCM  } 

\subsubsection[Antilles Guyane 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Antilles Guyane 2018 }(4) \index{Antilles Guyane 2018}}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $z_1 = - 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $- 2$ & \item  $- \sqrt{3} + \mathrm{i}$ & \item  2 & \item  $- \sqrt{3} - \mathrm{i}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Si $z_1 = - 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times  z_2$ vaut :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $-2 $ & \item  $1 - \mathrm{i}\sqrt{3}$ & \item $\e^{\mathrm{i}\pi}$ & \item  $- 1 - \mathrm{i}\sqrt{3}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Sachant que $P\left(X \in [189 ; 191]\right) \approx 0,95$, $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $\mu = 1$ et $\sigma = 190$ & \item $\mu = 190$ et $\sigma = 1$ & \item $\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$ & \item $\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces
détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96\,\%.

On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon
de $150$~pièces détachées.

On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence $p$ des
pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est :

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%, on prendra la décision
d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées
non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  8 & \item 9 & \item  10 & \item  11\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion 2018 }(1) \index{France métropolitaine, La Réunion 2018}}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère $\left( \mathrm{O};\vec{u},\vec{v} \right)$. On considère le point $A$ de coordonnées $\left(- 4\sqrt{2} ;  4\sqrt{2}\right)$.

Une écriture exponentielle de l'affixe du point $A$ est:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $8\e^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ & \item $8\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ & \item $4 \sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$	& \item  $4 \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Sur le graphique ci-dessous, l'aire grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = 2\e^{- x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = 2$, où $a$ est un nombre réel strictement inférieur à 2.


\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-.4)(4,4.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.91 .92 .89}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*EXP(-x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-.4}{2}{\f} \gsave
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](2,0)(-.4,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.4cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,griddots=8,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-2)(20,23)
\psset{unit=2cm}
\multido{\n=1+1}{4}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-1.4,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-1+1}{5}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-.4)(\n,4.6)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.4,-0.4)(4,4.6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4.6){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-.4,0)(-.4,2.983)\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](2,0)(2,.27)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.8329}{4}{\f}
\uput[d](-.4,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire grisée a une valeur strictement comprise entre $0,5$ et $1$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $- 0,5$ & \item  $0$ & \item  $0,5$ & \item  $1,5$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\R$. On note $f$ l'unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 5$.

La valeur de $f(2)$ est :


\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $2\e^{-4} + 3$ & \item   $2\e^{4} + 3$ & \item  $5\e^{- 4} + 3$ & \item  $5\e^{4} + 3$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$.

La primitive $F$ de $f$ sur $]0 ; + \infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par :

\medskip

\begin{enumerate}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item $F(x) = x\ln (x) - 2x + 5$ &   \item  $F(x) = \dfrac{3}{x}$  \\ \item  $F(x) = x \ln (x) + 3$ & \item $F(x) = x\ln (x) - x + 4$
\end{tabularx}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[France métropolitaine, La Réunion septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018 }(1) \index{France métropolitaine, La Réunion septembre 2018}}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $- 2 \sqrt{3}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ & \item $2\sqrt{3}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ & \item $2 \sqrt{3}\e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ & \item $\sqrt{12}\e^{- \mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :

\begin{enumerate}
\item un nombre réel 
\item un nombre complexe de partie réelle nulle
\item un nombre complexe de module 1 
\item un nombre complexe de partie imaginaire positive
\end{enumerate}

\medskip

\item  Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2 ; x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
	
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item 2,25 & \item 6 & \item 8 & \item 10
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \e$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à $\e$.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(8,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2.71828}{6.4}{\f} \gsave
\psline(6.4,0)(2.71828,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.2,-.2)(8,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,ticks=none,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{.3333}{8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2.71828,0)(2.71828,0.367879)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](6.4,0)(6.4,.15625)
\uput[d](2.7,0){\prune\footnotesize{$\e$}}\uput[d](6.4,0){\prune\footnotesize{$a$}}
\uput[ur](1,1){\small{\bleu $y = \dfrac{1}{x}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
 \item  $2\e$ & \item  $2\e^2$ & \item $3\e$ & \item $\e^2$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie septembre 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie septembre 2018 }(1) \index{Polynésie septembre 2018}}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse proposée est exacte. Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\bigskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

On désigne par $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe solution de l'équation $3\mathrm{i}z + 1 = \mathrm{i}$ est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $z = -1 - 2\mathrm{i}$ & \item $ z = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\mathrm{i}}{ 3}$ & \item $z = -\dfrac{1}{3}$ &\item  $z= \dfrac{- 1 - \mathrm{i}}{3}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  On considère les deux nombres complexes $z = 4 \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ et $z' = \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$.

Sur le graphique ci-dessous, le nombre $z + z'$ est représenté par le point :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $A$ & \item  $B$ & \item  $C$ & \item  $D$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(-6,-1)(4,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-6,-0.98)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psdots[linecolor=bleu](3.5,1)(2.5,3)(-5.5,1.5)(2,3)
\uput[ur](3.5,1){\bleu $A$} \uput[ur](2.4641,3){\bleu $B$} \uput[u](-5.5,1.5){\bleu $C$} \uput[ul](2,3){\bleu $D$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item  On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left] - \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$.

Une primitive de $f$ sur $I$ est la fonction $F$ définie par :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item  $F(x) = 2\ln (2x + 1)$ & \item  $F(x) = \dfrac{- 4}{(2x+1)^2}$ \\ \item $F(x) = \dfrac{2x}{x^2+x}$ & \item  $F(x) = \ln (2x + 1)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item  Le graphique ci-dessous donne, dans un repère orthogonal, la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble des réels par :\[f(x) = x^2 - 3x \quad \text{et}\quad  g(x) = 3 - x.\]

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-4.8,-2.8)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2-3*x}
\def\g{3-x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{-1}{3}{\f} \gsave
\psline(-1,4)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.8,-2.8)(7,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](7,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-1.54138}{4.54138}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt,linecolor=prune]{-4}{5}{\g}
\psdots[linecolor=bleu](-1,4)(3,0)
\uput[ur](3,0){\bleu\footnotesize{$B$}}\uput[ur](-1,4){\bleu\footnotesize{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On souhaite connaître l'aire du domaine grisé.

Cette aire, en unité d'aire, est égale à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item  $\displaystyle\int_{-1}^3[f(x) - g(x)]\:\text{d}x$ & \item  $\displaystyle\int_{0}^3[g(x) - [(x)]\:\text{d}x$ \\ \item  $\displaystyle\int_{-1}^3\left[- x^2 - 4x + 3\right]\:\text{d}x$ & \item $\displaystyle\int_{-1}^3g(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{-1}^3 f(x)\:\text{d}x$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \newpage 

\thispagestyle{empty} 
 \null 
  \newpage 

\section{VRAI-FAUX  } 

\subsubsection[Nouvelle Calédonie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Nouvelle Calédonie 2018 }(3) \index{Nouvelle Calédonie 2018}}
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.}

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}


\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3\ln x$. 

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est 3. 
\item On considère le nombre complexe $z = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - \dfrac{5}{2}\mathrm{i}$.

L'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est $\overline{z} = 5\e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$. 
\item La valeur moyenne de la fonction $x \longmapsto  \sin \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ est égale à $0$. 
\item La fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 3 \cos 5x$ est solution de l'équation différentielle \[y'' + 25y = 0\] 
\end{enumerate}


 \newpage 

\subsubsection[Polynésie 2018]{\Numexo  \hfill \emph{Polynésie 2018 }(1) \index{Polynésie 2018}}
\emph{Cet exercice est composé de deux parties indépendantes.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$.

\begin{minipage}{9cm}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
\item $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-3.4,-3.6)(4,3.8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(4*x-4)}
\psset{unit=.2cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,griddots=4,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-17,-18)(20,19)
\psset{unit=1cm}
\multido{\n=-3+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](-3.4,\n)(4,\n)}
\multido{\n=-3+1}{3}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-3.6)(\n,3.8)}
\multido{\n=2+1}{2}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=darkgray](\n,-3.6)(\n,3.8)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.4,-3.6)(4,3.8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.4}{.93055}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1.06579}{4}{\f}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=prune,linewidth=1pt](1,-3.6)(1,3.8)
\uput[ul](4,.1){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


\item Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\item $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$ & \item $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$ \\ \item $g(t)=  \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$ & \item $g(t)=  2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\R$:

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $0$ & \item $2+\e^{-2}$ & \item $2,14$ & \item $2-\e^{2}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\item La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x\e^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\R$ par :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item $h'(x)=\e^{-2x}$ & \item $h'(x)=-2\e^{-2x}$ & \item $h'(x)=-2x\e^{-2x}$ & \item $h'(x)=\left (1-2x\right )\e^{-2x}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left( \mathrm{O};\vec{u},\vec{v} \right)$.

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points $A$, $B$ et $C$ du plan complexe d'affixes respectives $z_{A}$, $z_{B}$ et $z_{C}$ :

\[z_{A} = \dfrac{\sqrt{2} + \mathrm{i} \sqrt{2}}{\mathrm{i}} \hspace{2cm} z_{B} = 2 \e^{\mathrm{i} \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{C} = -2\mathrm{i} \e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\]

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.\\
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{itemize}

\item \textsf{Affirmation 1:} La forme algébrique de $z_{A}$ est $\sqrt{2}- \mathrm{i}\sqrt{2}$.
\item \textsf{Affirmation 2:} Un argument de $z_{C}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
\item \textsf{Affirmation 3:} Les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle de centre O.
\item \textsf{Affirmation 4:} O est le milieu du segment $\left[BC\right]$. 
\end{itemize}

\newpage 

\thispagestyle{empty}
%%%% debut macro %%%%
\newenvironment{ModifMarges}[2]{\begin{list}{}{%
\setlength{\leftmargin}{0pt}%
\setlength{\rightmargin}{0pt}%
\addtolength{\leftmargin}{#1}%
\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item[] }{\end{list}}

%%%% fin macro %%%%
\null
\vspace{\stretch{1}}
\begin{sffamily}

\begin{center}
{\LARGE \textbf{BACCALAUR\'EAT STI2D 2018}}

\bigskip

{\Large \textsc{Mathématiques  : index des différents sujets}}
\end{center}

\begin{ModifMarges}{2.5cm}{2.5cm}
\vspace{\stretch{1}}
\hrulefill

\begin{itemize}
  \item[] Antilles Guyane 2018 \dotfill \hyperpage{1}, \hyperpage{12}, \hyperpage{19}, \hyperpage{33}
  \item[] France métropolitaine, La Réunion 2018 \dotfill \hyperpage{3}, \hyperpage{9}, \hyperpage{25}, \hyperpage{34}
  \item[] France métropolitaine, La Réunion septembre 2018 \dotfill \hyperpage{14}, \hyperpage{20}, \hyperpage{26}, \hyperpage{35}
  \item[] Nouvelle Calédonie 2018 \dotfill  \hyperpage{4}, \hyperpage{22}, \hyperpage{28}, \hyperpage{39}
  \item[] Polynésie 2018 \dotfill  \hyperpage{5}, \hyperpage{16}, \hyperpage{30}, \hyperpage{40}
  \item[] Polynésie 2018 septembre 2018 \dotfill  \hyperpage{7}, \hyperpage{23}, \hyperpage{31}, \hyperpage{36}
\end{itemize}

\hrulefill

\end{ModifMarges}
\vspace{\stretch{2}}
	\end{sffamily}

 \end{document}
