On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonormal, d'une fonction f définie sur . La courbe Γ passe par les points et et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point D d'abscisse –1 est parallèle à l'axe des abscisses.
Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée de f et une autre représente une primitive F de f sur .
| Courbe 1 | Courbe 2 | Courbe 3 |
Déterminer la courbe associée à la fonction et celle qui est associée à la fonction F.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix.
Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée non négative (resp. non positive) elle est croissante (resp. décroissante).
Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de et de .
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'absisse a.
On suppose que est de la forme où K et α sont des constantes réelles.
Calculer , puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues K et α.
En déduire que f est définie par .
Montrer que la fonction φ définie par f est définie par est une primitive de f.
Dire que la fonction φ est une primitive de la fonction f signifie que la dérivée .
En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.
Utiliser le théorème:
Soit a et b deux réels tels que , f une fonction définie et continue sur l'intervalle et sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Si, pour tout réel x de l'intervalle , , alors est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
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