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\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2005 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Amérique du Nord}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Amérique du Nord 2005}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad ( 3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux questions sont indépendantes. Les résultats seront arrondis à} $10^{-2}$.

\medskip

Le gouvernement d'un pays envisage de baisser un impôt de 30\,\% en cinq ans.

\begin{enumerate}
\item On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89\,\%.
\item  La première année cet impôt baisse de 5\,\%, la deuxième année la baisse est de 1\,\% et la troisième année de 3\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ?
		\item  Pour atteindre son objectif quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.), en millions d'euros, sur la période 1994-2003.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{1.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année	&	1994&	1997&	1999&	2001&	2003\\ \hline
Rang $x_{i}$&		1&	4&	6&	8& 	10\\ \hline
C.A. $y_{i}$&	176&	209&	284&	380&	508\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $M_{i}\left(x_i ; y_{i}\right)$ est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=100]{->}(0,0)(-.5,-50)(11,600)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$}\uput[dl](0,600){$y$}
\savedata{\nuage}[ (1,176) (4,209) (6,284) (8,380)(10,508) ]
\dataplot[dotstyle=*,linecolor=bleu,plotstyle=dots]{\nuage}
\uput[r](1,176) {\bleu $M_{1}$} \uput[r](4,209){\bleu $M_{2}$} \uput[r](6,284){\bleu $M_{3}$} \uput[r](8,380){\bleu $M_{4}$} \uput[r](10,508){\bleu $M_{5}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On pose $z_{i} =  \ln y_{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en arrondissant à $10^{-2}$ près, pour $i$ variant de 1 à 5, les valeurs $z_{i}$, associées aux rangs $x_{i}$ du tableau.
		\item Construire le nuage de points $N_{i}\left(x_{i} ; z_{i}\right)$ dans le repère orthogonal suivant :
 \begin{itemize}
 \item sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année ;
 \item sur l'axe des ordonnées, on placera 5 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.
 \end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer avec la calculatrice une équation de la droite $d$ d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à $10^{-3}$ près) et tracer la droite $d$ dans le repère précédent.
		\item En déduire une relation entre $y$ et $r$ de la forme $y = A \times k^x$. (arrondir $A$ à l'entier près et $k$ à  $10^{-2}$ près)
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $d$ dans le même repère que celui du nuage de points $\left(N_{i}\right)$.
		\item Donner une estimation, arrondie au millier d'euros, du chiffre d'affaires en 2005.
		\item À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires sera supérieur à 1 milliard d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\def\g{2/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(8,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-.5,-.5)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){$x$}\uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{.2}{8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.4}{8}{\g}
\uput[dl](.5,2){\prune $\mathcal{H}_{1}$} \uput[dr](1.2,2){\bleu $\mathcal{H}_{2}$} 

\end{pspicture}\end{center}

Les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$ représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation

\[y = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  y= \dfrac{2}{x}.\]

On note $\mathcal{D}_{2}$ le domaine délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$	et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$.

On note $\mathcal{D}'_{2}$ le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{H}_{1}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$.

\begin{enumerate}
\item Colorier les domaines $\mathcal{D}_{2}$ et $\mathcal{D}'_{2}$ d'une couleur différente et montrer qu'ils ont la même aire.

Soit $n$ un entier naturel strictement positif. On note $u_{n}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$ et les droites d'équation $x = n$ et $x = n +1$.
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. \emph{On  pourra comparer les nombres $n(n +2)$ et $(n + 1)^2$}.
\item Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Déterminer la plus grande valeur de $n$ telle que l'aire du domaine $\mathcal{D}_{n}$ reste supérieure à $\dfrac{1}{10}$ d'unité d'aire. Soit $N$ cette valeur.
\item Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{H}_{1}$ et $\mathcal{H}_{2}$ et les droites d'équation $x =  1$ et $x = N$.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. 
 
L'exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

\textbf{Barème :}  Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{\textsf {\textsc{compléter le document réponse donné en annexe}}}
\end{center}

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{10cm}|X|}	\hline

\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{\textsf {\textsc{questions}}}} & 	\multicolumn{1}{c|}{\textbf{\textsf {\textsc{réponses}}}}\\ \hline
\begin{enumerate}
	\item Soit une série statistique à deux variables $(x ~;~y)$. Les valeurs de $x$ sont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la   méthode des moindres carrés est $y = 1,35x +22,8$.
	
	Les coordonnées du point moyen sont :
\end {enumerate}   & \begin{itemize}
\item[$\square$] $(6,5 ; 30,575)$
\item[$\square$] $(32,  575 ; 6,5)$
\item[$\square$] $(6,5 ; 31,575)$
\end{itemize}  \\  \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison $-5$.
	
	Laquelle de ces affirmations est exacte ?
\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] Pour tout entier $n$, $u_{n+1} - u_{n} = 5$
\item[$\square$] $u_{10}= u_{2}+ 40$
\item[$\square$] $u_{3} = u_{7} + 20$
\end{itemize}  	\\ \hline
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
	\item L'égalité $\ln (x^2 - 1) = \ln (x - 1) + \ln (x+1)$ est vraie :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] pour tout $x$ de  $]- \infty ; -1[ \cup]1 ; + \infty[$
\item[$\square$] pour tout $x$ de $\R - \{-1~ ;~ 1\}$
\item[$\square$] pour tout $x$ de $]1~ ;~+\infty[$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
	\item Pour tout réel $x$, le nombre $\dfrac{\e^x - 1}{\e^x + 2}$ égal à :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $-\dfrac{1}{2}$
\item[$\square$] $\dfrac{\e^{-x} - 1}{\e^{-x} + 2}$
\item[$\square$] $\dfrac{1 - \e^{-x}}{1 + 2\e^{-x}}$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
	\item On pose $I= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{1}{\e^x - 1}\dd x$ et $J = \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\e^x}{\e^x - 1} \dd x$
	
	alors le nombre   $I-J$  est égal à :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $\ln \dfrac{2}{3}$
\item[$\square$] $\ln \dfrac{3}{2}$
\item[$\square$] $\dfrac{3}{2}$
\end{itemize}  	\\ \hline
 \begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
	\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(1 - \dfrac{2}{100}\right)^x \leqslant 0,5$ est :
	\end {enumerate} & \begin{itemize}
\item[$\square$] $S= \left[- \infty ; \dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)}\right[ $
\item[$\square$] $S= \left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)} ; + \infty\right[$
\item[$\square$] $S=\left[\ln \left(\dfrac{0,5}{0,98}\right) ; +\infty\right[$
\end{itemize}  	\\ \hline

\end{tabularx}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\Gamma$, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie sur $\R$. La courbe $\Gamma$ passe par les points $A(0~;~2)$ et $C(-2~;~0)$ et la droite $(AB)$ est la tangente en $A$ à  $\Gamma$. La tangente à $\Gamma$ en son point $D$ d'abscisse $-1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.5)(3.5,3.2) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)*EXP(-x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(3.5,3.2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.25pt, linecolor=bleu]{-2}{0}{\f}
\psline[linewidth=.75pt](0,0)(-2,0)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.15}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.5,2.7183)(-0.5,2.7183)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,3)(3.2,-1.2)
\uput[u](-1,2.7){\footnotesize{$D$}} \uput[ur](2,0){\footnotesize{$B$}} \uput[ur](0,2){\footnotesize{$A$}} \uput[ul](-2,0){\footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ et une autre représente une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.


\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,6){\textsf {\small{Courbe 1}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{4}{x 1 add neg 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=0.5cm}
 \begin{pspicture}(-4,-6)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,4){\textsf {\small{Courbe 2}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(4,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.8}{4}{x 1 add  2.71828 x exp div}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-6)(4,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(0,4){\textsf {\small{Courbe 3}}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-5)(4,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{ 2  x 3 add  2.71828 x exp div sub}
\end{pspicture}


Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$.

\emph{Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'aide des renseignements fournis par l'énoncé, les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item On suppose que $f(x)$ est de la forme $f(x) =  (x+K)\e^{\alpha x}$ où $K$ et $\alpha$ sont des constante réelles.

Calculer $f'(x)$, puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d'équations d'inconnues $K$ et $\alpha$.
 
En déduire que $f$ est définie par $f(x) =  (x+2)\e^{-x}$.
\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)= (-x -3)\e^{-x}$ est une primitive de $f$.
 		\item En déduire la valeur de l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface hachurée.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}