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\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
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\raggedbottom
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{\ensuremath{\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)}}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\DecimalMathComma

\newcounter{nexo}    % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
\newcommand{\exo}{%
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2005 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Asie}}}}} %centre
%pied de page
%\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\lfoot{Asie 2005}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad ( 3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


\emph{Pour chaque question, une seule réponse} \textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c},~ \emph{ou} \textbf{d}, \emph{est exacte.}

\emph{Indiquer sur la copie la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,5$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève, aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des  probabilités, et,  en deuxième niveau,  des probabilités conditionnelles. Ainsi pour l'arbre donné 	dans la question 1 : $0,35 = P(A)$ et $0,1 =  P_{A}(E)$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 1}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=.7cm,levelsep=2.5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{0,35}}
		{
\TR{$E$}\naput{0,1}
\TR{$F$}\nbput{0,9}
 		}
	\pstree{\TR{~$B$~}\nbput{0,65}}
		{
\TR{~$E$}\naput{0,5}
\TR{~$F$}\nbput{0,5}
 		}
} & La probabilité de l'évènement $E$ est égale à : 

\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; 0,5 & \textbf{b.}\; 0,1 &  \textbf{c.}\; 0,6 & \textbf{d.}\; 0,36
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 2}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=.7cm,levelsep=2.5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{0,35}}
		{
\TR{$G$}\naput{0,3}
\TR{$H$}\nbput{0,7}
 		}
	\pstree{\TR{~$B$~}\nbput{0,65}}
		{
\TR{~$G$}\naput{$x$}
\TR{~$H$}\nbput{$1-x$}
 		}
} & Les évènements $A$ et $G$ étant supposés indépendants, $x$ est égal à : 

\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\; 0,35 & \textbf{b.}\; 0,1 &  \textbf{c.}\; 0,3 & \textbf{d.}\; 0,36
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{question} 3}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{m{5.5cm}>{\raggedright \arraybackslash}X}	
\psset{arrows=-,treesep=2.5cm,levelsep=5cm,linewidth=.75pt,labelsep=4pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$}\naput{0,35}}
		
	\pstree{\TR{~$B$}\nbput{0,65}}
		
} & Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l'arbre ci-contre. 
Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon indépendante.

La probabilité d'obtenir au moins une fois l'évènement $A$ est égale à :
\medskip

{ \begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{X}}
\textbf{a.}\; 0,35 & \textbf{b.}\; 0,82149375 &  \textbf{c.}\; 0,17850625 & \textbf{d.}\; 0,01500625
 \end{tabularx}}
\\
\end{tabularx}

  
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ élément de l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par : $f(x) = \dfrac{20}{1 + 15\e^{-0,4x}}$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
\item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ modélise sur l'intervalle $[0 ; 14]$ la fonction coût total de production, en euro, d'un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notée $\Gamma$, est donnée en \textbf{\textsc{annexe} 1 (à rendre avec la copie)}.

 Pour une quantité de produit $q$, exprimée en tonnes et comprise entre $0$ et $14$, on pose donc : $f(q) = \dfrac{20}{1 + 15\e^{-0,4q}}$.

Pour tout $q$ dans l'intervalle $]0 ; 14]$, le quotient $\dfrac{f(q)}{q}$ est appelé coût moyen de production de $q$ tonnes de produit.
\begin{enumerate} 
\item Pour $q$ dans l'intervalle $]0 ; 14]$, soit $Q$ le point d'abscisse $q$ de la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$.

Montrer que le coefficient directeur de la droite $\left(\mathrm{O}Q\right)$ est égal au coût moyen $\dfrac{f(q)}{q}$.
\item L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.
 
Par lecture graphique indiquer la valeur de $q$ qui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.
 \end{enumerate} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{20/(1+15*EXP(-.4*x))}
\rput(6.5,22){\textsf {\textbf{\textsc{annexe } 1}}} 
\rput(6.5,21){\textbf{À rendre avec la copie}} 
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(14,20)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(14,20)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}} \uput[l](0,1){\footnotesize{1}}
\uput[dl](14,0){$x$} \uput[dl](0,20){$y$}
\uput[ul](10,16){\bleu $\Gamma$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=700,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{14}{\f}
\end{pspicture}
 \end{center}
 

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


Pour fabriquer un alliage une usine utilise deux métaux A et B en quantités $x$ et $y$ exprimées en tonnes. Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d'euros, est donné par la formule : $C(x,y) = 2x + 0,5y^2 + 4$.

L'annexe  1 (à rendre avec la copie) comporte deux figures.

\begin{itemize}
\item La figure  1 représente la surface d'équation $z = C(x ; y)$ pour $0 \leqslant x  \leqslant 20$ et $O  \leqslant y  \leqslant 12$.
\item La figure 2 représente les courbes de niveau de cette surface pour z variant de 20 en 20.
\end{itemize}

\begin{center}\textbf{ Les parties 1 et 2 sont indépendantes.}\end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie }1}}

\medskip

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de deux questions, chacune comportant quatre propositions de réponse dont une seule est exacte.

\emph{Une bonne réponse rapportera $0,5$ point. Une mauvaise réponse sera pénalisée de  $0,25$ point. Si le total des points de cette partie est négatif, la note attribuée sera $0$.}

Les réponses seront indiquées sur la copie. Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate} 
\item Lequel des points donnés ci-dessous est  un point de la surface d'équation $z = C(x ; y)$ ?

 \begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{X}}
\textbf{a.}\; $M(13 ; 9 ; 60)$ & \textbf{b.}\; $N(12 ; 4 ; 40)$ &  \textbf{c.}\; $R(12 ; 8 ; 60)$ & \textbf{d.}\; $S(15 ; 4 ; 40)$
 \end{tabularx}

\medskip

\item La courbe de niveau $z= 20$ est :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{X}}
\textbf{a.}\;  une parabole & \textbf{b.}\; une droite &  \textbf{c.}\; une hyperbole & \textbf{d.}\; autre réponse
 \end{tabularx}

\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie }2}}

\medskip

Les métaux A et B sont achetés respectivement 0,5 et 1 millier d'euros la tonne. L'entreprise affecte 11 milliers d'euros à l'achat des métaux.

\begin{enumerate} 
\item Un exemple :

Si l'entreprise achète 4 tonnes de métal A,  combien de tonnes de métal B achète-t-elle ?
\item Cas général :

Soit $x$ la quantité de métal A et $y$ la quantité de métal achetées.

Montrer que $x$ et $y$ sont liés par la relation $x + 2y = 22$.

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Tracer sur la figure 2 de l'annexe 1 l'ensemble des points dont l'équation est $x + 2y =  22$.
		\item En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investissement de 11 milliers d'euros, et les quantités.correspondantes de métaux A et B achetées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe } 1}}

\medskip

\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(16.5,11)
\definecolor{C1} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C2} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C5} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.88 .85 .98}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(7.75,-2.5){Figure 1 : surface d'équation $z = C(x ; y)$}
\psset{linewidth=0.1pt,gridcolor=gray,linecolor=gray,Alpha=150,Beta=20}
\psset{xsubticks=20,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xy](0,0)(10,9)
\psset{xsubticks=20,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=9](0,0)(10,9)
\psset{xsubticks=12,ysubticks=12}
\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(9,9)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=9,zMax=9,drawing=false] 
\psset{linewidth=0.75pt,linecolor=black}
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)
\pstThreeDLine(0,0,0)(10,0,0)
\pstThreeDLine(10,0,0)(10,9,0)

\psset{linewidth=0.25pt,linecolor=black}
\multido{\n=0+1,\i=0+2}{11}{\pstThreeDLine(\n,-.1,0)(\n,0,0)
\pstThreeDPut(\n,0,-0.25){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=1.5+1.5,\i=2+2}{6}{\pstThreeDLine(10,\n,-.1)(10,\n,0)\pstThreeDPut(10.1,\n,-0.3){\footnotesize{\i}}}
\multido{\n=1.5+1.5,\i=20+20}{6}{\pstThreeDLine(-.1,0,\n)(0,0,\n)\pstThreeDPut(-.4,-.1,\n){\footnotesize{\i}}}
\pstThreeDPut(5,-1,-.5){$x$}
\pstThreeDPut(10,5.5,-1){$y$}
\pstThreeDPut(-1,0,4.5){$z$}

%surface
\psset{linewidth=0.1pt}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](0,9){10 t t dup mul 2 mul 99 add  30 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](10,0){t 9 3 t 19 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](9,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](0,7.93725){10 t t dup mul 2 mul 99 add  30 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=10](7.93725,9){108 t dup mul sub 2 mul 9 div t 7.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](6,0){t 9 3 t 19 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](9,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](0,6.36396){10 t t dup mul 2 mul 99 add  30 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=20](6.36396,9){171 t dup mul 2 mul sub 9 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](1,0){t 9 3 t 19 add mul 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](9,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,10){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](0,4.24264){10 t t dup mul 2 mul 99 add  30 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.24264,7.93725){63 t dup mul  sub 2 mul 9 div t 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](7.93725,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,9){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.36396){81 t dup mul 2 mul sub  9 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](6.36396,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=2](0,4){t 0 3 t mul 3 add 10 div}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.24264){18 t dup mul sub 2 mul  9 div t 1.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=45](4.24264,0){0 t t dup mul 2 mul 9 add  30 div}
}

% lignes de niveau
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,4.24264){18 t dup mul sub 2 mul  9 div t 1.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](0,6.36396){81 t dup mul 2 mul sub  9 div t 3}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](4.24264,7.93725){63 t dup mul  sub 2 mul 9 div t 4.5}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](6.36396,9){171 t dup mul 2 mul sub 9 div t 6}
\parametricplotThreeD[plotstyle=line,xPlotpoints=50](7.93725,9){108 t dup mul sub 2 mul 9 div t 7.5}

\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=12,xPlotpoints=20,linewidth=0.5pt,linecolor=bleu](0,10)(0,9){x 9 mul y dup mul 2 mul add 9 add  30 div }

%la légende
\psset{unit=0.45cm}
\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[ fillcolor=C1](28,6)(28.8,6.8)  \rput[l](29.6 ,6.4){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](28,7.6)(28.8,8.4)  \rput[l](29.6,8){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](28,9.2)(28.8,10)  \rput[l](29.6,9.6){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](28,10.8)(28.8,11.6)  \rput[l](29.6,11.2){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](28,12.4)(28.8,13.2)  \rput[l](29.6,12.8){\small{\textsf{80-100}}}
\psframe[ fillcolor=C6](28,14)(28.8,14.8)  \rput[l](29.6,14.4){\small{\textsf{100-120}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(27,13)
\definecolor{C1} {rgb}{.65 .58 .8}
\definecolor{C2} {rgb} {.85 .88 1}
\definecolor{C3} {rgb}{.5 .5 1}
\definecolor{C4} {rgb}{.92 .86 .95}
\definecolor{C5} {rgb}{.7 0.4 .8}
\definecolor{C6} {rgb}{.88 .85 .98}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(12.5,-2.5){Figure 2 :  courbes de niveau}
\psset{linewidth=.1pt}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=C6,linecolor=C6](0,0)(20,12)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C5,linecolor=C5]{
\psline(0,0)(20,0)(20,10.583)
\psplot[plotpoints=80]{20}{12}{48 x sub sqrt 2 mul}
\psline(12,12)(0,12)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C4,linecolor=C4]{
\psline(0,0)(20,0)(20,8.48528)
\psplot[plotpoints=180]{20}{2}{38 x sub sqrt 2 mul}
\psline(2,12)(0,12)(0,0)
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C3,linecolor=C3]{
\psline(0,0)(20,0)(20,5.65685)
\psplot[plotpoints=200]{20}{0}{28 x sub sqrt 2 mul}
\psline(0,10.583)(0,0)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C2,linecolor=C2]{
\psline(0,0)(18,0)
\psplot[plotpoints=180]{18}{0}{18 x sub sqrt 2 mul}
\psline(0,8.48528)(0,0)
}

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=C1,linecolor=C1]{
\psline(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=80]{8}{0}{8 x sub sqrt 2 mul}
\psline(0,5.65685)(0,0)
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,12)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=0.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(20,12)
\uput[d](10,-.8){$x$} \uput[l](-.8,6){$y$}

\psset{linewidth=.75pt,linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=80]{12}{20}{48 x sub sqrt 2 mul}
\psplot[plotpoints=180]{2}{20}{38 x sub sqrt 2 mul}
\psplot[plotpoints=200]{0}{20}{28 x sub sqrt 2 mul}
\psplot[plotpoints=180]{0}{18}{18 x sub sqrt 2 mul}
\psplot[plotpoints=80]{0}{8}{8 x sub sqrt 2 mul}

\psset{linewidth=0.1pt, fillstyle=solid,linecolor=bleu}
\psframe[ fillcolor=C1](23,1.8)(23.8,2.6)  \rput[l](24.4 ,2.2){\small{\textsf{0-20}}}
\psframe[ fillcolor=C2](23,3.3)(23.8,4.1)  \rput[l](24.4 ,3.7){\small{\textsf{20-40}}}
\psframe[ fillcolor=C3](23,4.8)(23.8,5.6)  \rput[l](24.4 ,5.2){\small{\textsf{40-60}}}
\psframe[ fillcolor=C4](23,6.3)(23.8,7.1)  \rput[l](24.4 ,6.7){\small{\textsf{60-80}}}
\psframe[ fillcolor=C5](23,7.8)(23.8,8.6)  \rput[l](24.4 ,8.2){\small{\textsf{80-100}}}
\psframe[ fillcolor=C6](23,9.3)(23.8,10.1)  \rput[l](24.4 ,9.7){\small{\textsf{100-120}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée ci-dessous.

Soit $A$ le point du plan de coordonnées $(-1; 0)$ et $B$ le point du plan de coordonnées $(1 ; 5)$. Le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

La droite $(AB)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer $f'(1)$, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.

\item L'une des trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$, et $\mathcal{C}_{3}$ représentées sur les figures 1, 2 et 3 ci-dessous,  représente la fonction $f'$. Laquelle ?

Justifier votre réponse.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{10*x^2/(5*x^2-7*x+4)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(7,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[ur](2,3){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-1.5,-1.25)(1.5,6.25)
\uput[ul](1,5){\bleu $B$}\uput[ul](-1,0){\prune $A$}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.65cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(7,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,11.5){Figure 1}
\def\f{(80*x-70*x^2)/(5*x^2-7*x+4)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(7,11)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(7,11)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,11){$y$}
\uput[ur](1,9){\bleu $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-1,-3)(7,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,5.5){Figure 2}
\def\f{(40*x-35*x^2)/(5*x^2-7*x+4)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(7,5)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[ur](1,3){\bleu $\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-1,-1)(7,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(3,7.5){Figure 3}
\def\f{.625*x*(6-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(7,7)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,7){$y$}
\uput[ur](4,5){\bleu $\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{6}{\f}
\end{pspicture}
 \end{center}
 
\pagebreak

 \exo \qquad ( 9 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution du prix d'une matière première.

\emph{On ne fera qu'un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

le tableau suivant donne le prix d'une tonne de matière première en milliers d'euros au 1\up{er} janvier de chaque année : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année & 1998&	1999&	2000 &	2001\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 6,48 &5,74 & 5,19 & 5,01\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$, le plan étant rapporté a un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour un millier d'euros sur l'axe des ordonnées).
\item Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du prix de cette matière première.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la  calculatrice et les résultats seront donnés à $10 ^{-3}$ près).
		\item En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1\up{er} janvier 2005 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

En fait, à partir de l'année 2001, le prix d'une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année & 2001&	2002&	2003 &	2004\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$ & 3 &4 & 5 & 6\\ \hline
Prix d'une tonne en milliers d'euro $y_{i}$ & 5,01 &5,10 & 5,20 & 5,52\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate} 
\item Placer  sur le graphique de la  partie A les points associés à ce 2\up{e} tableau.
\item On désire trouver une fonction qui modélise l'évolution de ce prix sur la période 1998--2008.

Pour cela, on considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $[0 ; 11]$ par $f(x) = x + 10 - 5 \ln (x + 2)$.
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle, et on notera $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate} 
		\item Donner un tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ entières comprises entre $0$ et $11$. Les valeurs de la fonction seront arrondies à $10 ^{-2}$.
		\item Calculer $f'(x)$, puis étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 11]$.

Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à $10 ^{-2}$ près.
		\item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ sur le graphique de la  partie A.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ modélise l'évolution du prix de cette matière première sur la période 1998--2008.
	\begin{enumerate} 
		\item	Selon ce modèle, quel serait le prix d'une tonne de matière première au 1\up{er} janvier 2005 ?
		\item Déterminer en quelle année le prix d'une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}