Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On a divisé une population en deux catégories : « fumeurs » et « non-fumeurs ».

Une étude statistique a permis de constater que, d'une génération à l'autre,

60% des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
10% des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.

On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non fumeurs.

On désigne par :

$f_{n}$ le pourcentage de fumeurs à la génération de rang n,
$g_{n} = 1 - f_{n}$ le pourcentage de non-fumeurs à la génération de rang n, où n est un entier naturel.

On considère qu'à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs. On a donc $f_{0} = g_{0} = 0,5$ .

Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
Justifier l'égalité matricielle :

$(\begin{matrix} f_{n + 1} & g_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{n} & g_{n} \end{matrix}) \times A$ où A désigne la matrice : $(\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$

M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
P_n est la matrice ligne décrivant l'état à l'étape n, alors l'état probabiliste à l'étape n + 1 s'obtient par : $P_{n + 1} = P_{n} \times M$
Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.

M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste.
P₀ est la matrice ligne décrivant l'état initial et P_n celle décrivant l'état à l'étape n, alors : $P_{n} = P_{0} \times M^{n}$
Déterminer l'état probabiliste stable et l'interpréter.

Un état probabiliste P est stable si, et seulement si, il reste le même dans la répétition de l'expérience aléatoire décrite par la matrice de transition M, c'est à dire s'il vérifie : $P = P \times M$
Montrer que : pour tout entier naturel n, $f_{n + 1} = 0,5 f_{n} + 0,1$ .

$(\begin{matrix} f_{n + 1} & g_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{n} & g_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ et $g_{n} = 1 - f_{n}$
On pose, pour tout entier naturel n, $u_{n} = f_{n} - 0,2$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  
  Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = u_{n} \times q$ .
2. Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de n.
  
  Si $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison q, alors, $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $f_{n} = 0,3 \times {0,5}^{n} + 0,2$ .
4. Déterminer la limite de la suite $(f_{n})$ lorsque n tend vers $+ \infty$ et l'interpréter.

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