Dans un repère orthonormal du plan d'unités graphiques 2 cm, la courbe (Γ) , tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction gdéfinie et dérivable sur l'intervalle .
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
Quel est le tableau de variation de g sur ?
Tableau de variation de g sur
x | 0 | 1 | 3,5 | ||
variations de | 0 | 2 |
Quelles sont les valeurs de et de ?
La droite (OA) est la tangente en O à Γ, alors le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à .
Or le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à . D'où
La tangente en B à la courbe (Γ) est parallèle à l'axe des abscisses d'où
Quelles sont les coordonnées du point C ?
C est le point de (Γ) situé sur la bissectrice de l'angle , par conséquent, l'abscisse du point C est égale à son ordonnée.
Graphiquement les coordonnées du point C sont : .
Résoudre l'inéquation sur .
Graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble des réels x abscisses des points de la courbe (Γ) situés "au dessus" de la bissectrice de l'angle .
Soit
Définir la surface S par un système d'inéquations et déterminer graphiquement un encadrement de l'aire de S d'amplitude 2 cm2.
Rappel : l'aire d'un trapèze est donnée par la formule : où B et b sont les bases du trapèze et h sa hauteur.
Graphiquement la courbe (Γ) est située sous la tangente (OA), alors l'aire de la surface S est comprise entre l'aire du trapèze OABI et l'aire du triangle OBI.
Soit
D'où un encadrement de l'aire de S en unité d'aire:
Or l'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté , d'où un encadrement de l'aire de S d'amplitude 2 cm2 est :
On suppose que l'une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive de la fonction g s'annulant en 0. En justifiant l'élimination de deux courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique de cette primitive.
Courbe 1 | Courbe 2 | Courbe 3 |
L'une des trois courbes étant la représentation graphique de la primitive G de la fonction g s'annulant en 0 , alors la fonction g représentée est la dérivée de la fonction G. (Voir la définition).Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dire qu'une fonction F est une primitive de la fonction f sur I signifie que:
F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, .
L'étude du signe de la fonction g nous renseigne sur les variations de la fonction G associée. (Voir le théorème).Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée non négative (resp. non positive) elle est croissante (resp. décroissante).
Sur l'intervalle la fonction g est positive, alors la primitive G est croissante, par conséquent la courbe 3 ne convient pas.
D'autre part par conséquent la courbe représentative de la primitive G admet au point d'abscisse 0 une tangente parallèle à l'axe des abscisses, d'où la courbe 1 ne convient pas.
L'une des trois courbes étant la représentation graphique de la primitive G de la fonction g, seule la courbe 2 convient
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