Baccalauréat juin 2005 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormal du plan (O;𝚤,𝚥) d'unités graphiques 2 cm, la courbe (Γ) , tracée ci-dessous, est la représentation graphique d'une fonction gdéfinie et dérivable sur l'intervalle [0;3,5].

  • I et J sont les points du plan tels que OI=𝚤 et OJ=ȷ ,
  • C est le point de (Γ) situé sur la bissectrice de l'angle IOJ^ ,
  • (OA) est la tangente en O à (Γ) ,
  • S est la surface hachurée sur la figure ci-dessous :
Courbe Γ : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

    1. Quel est le tableau de variation de g sur [0;3,5] ?

      Tableau de variation de g sur [0;3,5]

      x 0 1 3,5
      variations de g(x)

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Quelles sont les valeurs de g(0) et de g(1)?

      • La droite (OA) est la tangente en O à Γ, alors le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à g(0).

        Or le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à yAxA=20,5. D'où g(0)=4


      • La tangente en B à la courbe (Γ) est parallèle à l'axe des abscisses d'où g(1)=0


    3. Quelles sont les coordonnées du point C ?

      C est le point de (Γ) situé sur la bissectrice de l'angle IOJ^, par conséquent, l'abscisse du point C est égale à son ordonnée.

      Graphiquement les coordonnées du point C sont : C(74;74).


    4. Résoudre l'inéquation g(x)x sur [0;3,5].

      Graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation g(x)x est l'ensemble des réels x abscisses des points de la courbe (Γ) situés "au dessus" de la bissectrice de l'angle IOJ^.

      Soit x[0;74]


  2. Définir la surface S par un système d'inéquations et déterminer graphiquement un encadrement de l'aire de S d'amplitude 2 cm2.
    Rappel : l'aire d'un trapèze est donnée par la formule : A=(B+b)×h2B et b sont les bases du trapèze et h sa hauteur.

    Graphiquement la courbe (Γ) est située sous la tangente (OA), alors l'aire de la surface S est comprise entre l'aire du trapèze OABI et l'aire du triangle OBI.

    Soit OI×IB2<Aire de S <(OI+AB)×IB2

    D'où un encadrement de l'aire de S en unité d'aire:
    1×22<Aire de S <(1+0,5)×221<Aire de S <1,5

    Or l'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté , d'où un encadrement de l'aire de S d'amplitude 2 cm2 est :

    4<Aire de S <6


  3. On suppose que l'une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive de la fonction g s'annulant en 0. En justifiant l'élimination de deux courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique de cette primitive.

    Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'une des trois courbes étant la représentation graphique de la primitive G de la fonction g s'annulant en 0 , alors la fonction g représentée est la dérivée de la fonction G. (Voir la définition).Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
    Dire qu'une fonction F est une primitive de la fonction f sur I signifie que:
    F est dérivable sur I et pour tout réel x de I, F(x)=f(x) .


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