sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. 1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ ?

      f est la composée d'une fonction affine définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ suivie de la fonction ln.

      Pour étudier les limites aux bornes de son intervalle de définition on utilise le théorème de la limite d'une fonction composée.α , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }2x-4=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\ln \left(X\right)=+\infty$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(2x-4\right)=+\infty$

      $\underset{x\to 2}{\lim }2x-4=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors $\underset{x\to 2}{\lim }\ln \left(2x-4\right)=-\infty$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

      ---

      Or $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

      Donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation $x=2$.

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   2. Étudier le sens de variation de f sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ et dresser son tableau de variation.

      Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, $2x-4>0$.

      Par conséquent , la fonction $u:x\to 2x-4$ est strictement positive sur $\left]2;+\infty \right[$.

      D'après le théorème sur le sens de variation de ln u, Les fonctions u et $\ln u$ ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive. les fonctions f et u ont les mêmes variations sur $\left]2;+\infty \right[$.

      Or u est une fonction affine de coefficient 2 restreinte à l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ donc strictement croissante sur $\left]2;+\infty \right[$.

      Ainsi f est strictement croissante sur $\left]2;+\infty \right[$. D'où le tableau de variation de la fonction f :

      x		2			$+\infty$
      Variations de f			$-\infty$		$+\infty$

      ---

   3. La courbe $\left({𝒞}_f\right)$ coupe l'axe des abscisses au point A. Quelles sont les coordonnées exactes de A ?

      A est un point de la courbe $\left({𝒞}_f\right)$. Ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe.

      L'abscisse x du point A est solution de l'équation $f\left(x\right)=0$

      Or $$\begin{array}{llll}\ln \left(2x-4\right)=0& \iff & \ln \left(2x-4\right)=\ln 1& \ln 1=0\\ & \iff & 2x-4=1& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs : }\ln a=\ln b\text{ équivaut à }a=b\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{5}{2}}& \end{array}$$

      Les coordonnées du point A sont $A\left(\mathrm{2,5};0\right)$.

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   4. Déterminer une équation de la droite (T) tangente en A à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$.

      La tangente (T) en $A\left(\mathrm{2,5};0\right)$ à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ a pour équation :$$y=f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)\left(x-\mathrm{2,5}\right)+f\left(\mathrm{2,5}\right)\iff y=f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)\left(x-\mathrm{2,5}\right)$$

      Calcul de la dérivée de la fonction f

      $f=\ln u$ avec pour tout x appartenant à l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ $u\left(x\right)=2x-4$.

      Or la fonction $u:x\to 2x-4$ définie sur $\left]2;+\infty \right[$ est dérivable et strictement positive sur $\left]2;+\infty \right[$.

      D'après le théorème sur la dérivée de ln u :Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
      La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

      f est dérivable sur $\left]2;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$

      Soit pour tout x appartenant à l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2x-4}}$

      D'où $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)={\displaystyle \frac{2}{2\times \mathrm{2,5}-4}}=2$

      Par conséquent, la tangente (T) a pour équation $y=2\left(x-\mathrm{2,5}\right)$

      Une équation de la droite (T) tangente en A à la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ est $y=2x-5$

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2. Sur la figure ci-dessus, on a tracé la courbe $\left({𝒞}_f\right)$, le point A, la droite (T) et la droite (D) d'équation $y=x$.
   Par la symétrie axiale d'axe (D), la courbe $\left({𝒞}_f\right)$ se transforme en une courbe $\left({𝒞}_g\right)$ représentative d'une fonction g définie dans $ℝ$.
   On admet que, pour tout x réel, $g\left(x\right)$ s'écrit sous la forme $g\left(x\right)=a+b{\mathrm{e}}^x$ où a et b sont deux nombres réels.
   La courbe $\left({𝒞}_g\right)$ ainsi construite passe par le point A ' image de A par la symétrie d'axe (D).
   De plus, la courbe $\left({𝒞}_g\right)$ admet au point A ' une tangente (T ') qui est l'image de la droite (T) par la symétrie d'axe (D).

   remarque préalable

   La symétrie d'axe (D) n'est pas au programme de terminale ES. Cependant lors de l'étude de la fonction exponentielle comme bijection réciproque de la fonction ln, on peut considérer que le théorème suivant a été admis:

   Dans un repère orthonormé, le symétrique d'un point $M\left(\mathit{x};\mathit{y}\right)$ par rapport à la première bissectrice (D) d'équation $y=x$ est le point $M\prime \left(\mathit{y};\mathit{x}\right)$

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   1. Donner, sans justification, le coefficient directeur de la droite (T ') .

      Le point A ' est l'image du point A par la symétrie d'axe (D), alors les coordonnées du point A ' sont $A\prime \left(0;\mathrm{2,5}\right)$

      La droite (T ') est l'image de la droite (T) par la symétrie d'axe (D) or la droite (T) coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-5\right)$, alors la droite (T ') coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(-5;0\right)$

      Le coefficient directeur de la droite (T ') est égal à ${\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}-0}{0+5}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

      Le coefficient directeur de la droite (T ') est égal à 0,5.

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      autre méthode

      La droite (T ') est l'image de la droite (T) d'équation $y=2x-5$ par la symétrie d'axe (D) alors :
      une équation de la droite (T ') est $\mathit{x}=2\mathit{y}-5$

      Or $x=2y-5\iff y={\displaystyle \frac{x+5}{2}}$. Donc le coefficient directeur de la droite (T ') est égal à 0,5.

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   2. Calculer a et b en justifiant soigneusement les calculs.

      La courbe $\left({𝒞}_g\right)$ passe par le point A ' de coordonnées $A\prime \left(0;\mathrm{2,5}\right)$, alors a et b sont solutions de l'équation : $$a+b{\mathrm{e}}^0=\mathrm{2,5}\iff a+b=\mathrm{2,5}$$

      La fonction g est dérivable et pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)=b{\mathrm{e}}^x$.

      Or Le coefficient directeur de la tangente (T ') au point A ' de la courbe est égal à 0,5. Donc $g\prime \left(0\right)=\mathrm{0,5}$.

      Soit $b{\mathrm{e}}^0=\mathrm{0,5}\iff b=\mathrm{0,5}$

      Ainsi a et b sont solutions du système :$$\{\begin{array}{r}a+b=\mathrm{2,5}\\ b=\mathrm{0,5}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=\mathrm{0,5}\end{array}$$

      Pour tout réel x, $g\left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x$.

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   3. Calculer l'ordonnée exacte du point E appartenant à $\left({𝒞}_g\right)$ et ayant pour abscisse 2.

      $g\left(2\right)=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2$.

      Les coordonnées du point E sont $E\left(2;2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2\right)$.

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   4. Quelles sont les coordonnées du point E ' image de E par la symétrie d'axe (D)?

      Le point E ' est l'image du point $E\left(2;2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2\right)$ par la symétrie d'axe (D) alors :

      les coordonnées du point E ' sont $E\prime \left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2;2\right)$.

      ---

3. 1. Calculer la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}$ .

      ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\left[2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right]}_0^2}=4+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

      ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+7}{2}}$

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   2. En déduire l'aire $𝒜$, en unités d'aire, du domaine hachuré défini par la courbe $\left({𝒞}_g\right)$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E. On demande la valeur exacte du résultat.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$, donc $2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x>0$. Par conséquent, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\left({𝒞}_g\right)$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$.

      L'aire $𝒜$, en unités d'aire, du domaine défini par la courbe $\left({𝒞}_g\right)$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E est égale à la différence entre l'aire du rectangle de sommet E et l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}$. $$\begin{array}{ccc}𝒜=2\times f\left(2\right)-{\displaystyle {\int }_0^2\left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x}& \text{soit}& 𝒜=2\times \left(2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2\right)-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+7}{2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2}}\end{array}$$ .

      $𝒜={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2}}$

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   3. Expliquer comment on peut en déduire, sans faire de calculs, la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{5}{2}}}^{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      ${\displaystyle {\int }_{\frac{5}{2}}^{2+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire en unités d'aire, du domaine colorié en bleu défini par la courbe $\left({𝒞}_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites parallèles à l'axe des ordonnées passant par les points A et E '. C'est à dire du domaine symétrique par rapport à la droite d'axe (D) du domaine défini par la courbe $\left({𝒞}_g\right)$, l'axe des ordonnées et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par E.

      Donc ${\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{5}{2}}}^{2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2}}$

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