sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. On considère que l'approximation des bénéfices par f est satisfaisante si la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_i$ et les valeurs approchées $f\left(x_i\right)$ est inférieure à 0,5.
   L'approximation par f est-elle satisfaisante? (Le résultat obtenu à l'aide de la calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)

   À l'aide de la calculatrice nous pouvons obtenir les différentes valeurs approchées de ${\left(f\left(x_i\right)-y_i\right)}^2$. Par exemple : $${\left(f\left(x_0\right)-y_0\right)}^2={\left(f\left(0\right)-\left(-25\right)\right)}^2={\left(-{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{0}{2}}+4\right)}+30+25\right)}^2={\left(-{\mathrm{e}}^4+55\right)}^2\approx \mathrm{0,161483}$$

   $x_i$	0	1	2	3	4	5
   $y_i$	- 25,000	- 3,111	9,892	17,788	22,598	25,566
   ${\left(f\left(x_i\right)-y_i\right)}^2$ (Arrondis à 10-6)	0,161483	0,000020	0,000505	0,000871	0,000168	0,002274

   Ainsi la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs approchées : $${\displaystyle \sum _{i=0}^5{\left(f\left(x_i\right)-y_i\right)}^2}\approx \mathrm{0,165321}$$

   La somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_i$ et les valeurs approchées $f\left(x_i\right)$ est inférieure à 0,5. L'approximation par f est satisfaisante.

   ---

2. 1. Déterminer la limite de f en $+\infty$.

      Posons $X=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}=0$ d'après le théorème sur les limites d'une fonction composée.α  , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$., on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4\right)}+30=30$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=30$

      ---

   2. En déduire que ${𝒞}_f$ admet une asymptote D dont on précisera l'équation.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=30$, alors la droite D d'équation $y=30$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ au voisinage de $+\infty$.

      ---

   3. Étudier la position de ${𝒞}_f$ par rapport à D.

      Pour étudier les positions relatives de ${𝒞}_f$ par rapport à D, il suffit d'étudier le signe de $f\left(x\right)-30=-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}$.

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $-{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}<0$. Soit sur $[0;+\infty [$, $f\left(x\right)-30<0$.

      La courbe ${𝒞}_f$ est sous son asymptote D.

      ---

3. 1. Étudier les variations de f sur $\left[0;+\infty \right[$ et dresser le tableau de variations.

      Déterminons la dérivée de f en utilisant la formule de la dérivée de ${\mathrm{e}}^u$.Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction $f:x\to {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur I et pour tout réel x de I, $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}\times u\prime \left(x\right)$.

      Soit u la fonction affine définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4$, alors $u\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Par conséquent pour tout réel x de l'intervalle $[0;+\infty [$,$$f\prime \left(x\right)=-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\times {\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}$$

      D'où pour tout réel x de l'intervalle $[0;+\infty [$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc f est strictement croissante sur cet intervalle.

      ---

      De plus $f\left(0\right)=-{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{0}{2}}+4\right)}+30=-{\mathrm{e}}^4+30$.

      D'où le tableau de variation de f.

      x	0		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+
      Variations de f	$-{\mathrm{e}}^4+30$		30

      ---

   2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0.

      Le coefficient directeur de la tangente T à ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 est le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{0}{2}}+4}$.

      Le coefficient directeur de la tangente T à ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 est égal à ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^4$.

      ---

4. 1. En utilisant le modèle que constitue la fonction f, en quelle année le bénéfice évalué au 1^er janvier dépassera-t-il 29 800 euros?

      Le bénéfice évalué au 1^er janvier dépassera 29 800 euros pour la plus petite valeur entière du rang x solution de l'inéquation $f\left(x\right)>\mathrm{29,8}$

      Soit $$\begin{array}{llll}-{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4\right)}+30>\mathrm{29,8}& \iff & -{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4\right)}>\mathrm{29,8}-30& \\ & \iff & -{\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4\right)}>-\mathrm{0,2}& \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4\right)}<\mathrm{0,2}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{2}}+4}\right)<\ln \mathrm{0,2}& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs : }\ln a<\ln b\text{ équivaut à }a<b\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{x}{2}}+4<\ln \mathrm{0,2}& \text{Pour tout réel }x\text{, }\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{x}{2}}<-4+\ln \mathrm{0,2}& \\ & \iff & x>8-2\ln \mathrm{0,2}& \end{array}$$

      Or $8-2\ln \mathrm{0,2}\approx \mathrm{11,2189}$ par conséquent, le plus petit entier x tel que $f\left(x\right)>\mathrm{29,8}$ est 12.

      Ainsi, en utilisant le modèle que constitue la fonction f, le bénéfice dépassera 29 800 euros le 1^er janvier 2011.

      ---

   2. Ce bénéfice atteindra-t-il 30 000 euros? Justifier.

      Dans la question 2.c nous avons établi que sur $[0;+\infty [$, $f\left(x\right)-30<0\iff f\left(x\right)<30$. Donc :

      En utilisant le modèle que constitue la fonction f, le bénéfice ne peut pas atteindre 30 000 euros.

      ---

      Remarque

      Intuitivement, dire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=30$, signifie qu'on peut rendre $f\left(x\right)$ aussi proche que l'on veut de 30 en choisissant x suffisamment grand.

5. Construire ${𝒞}_f$, en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence dans les questions précédentes.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.