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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2005 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Polynésie}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Polynésie 2005}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalués au premier janvier de chaque année, depuis le 1\up{er} janvier 1999. Chaque année est identifiée par son rang.

À l'année 1999 est attribué le rang 0 et à l'année $1999 + n$ le rang $n$ ainsi 2001 a le rang 2.

Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang $x_{i}$ d'année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d'euros et noté $y_{i}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 \\ \hline
$y_{i}$ &-25,000 &-3,111 &9,892 &17,788 &22,598 &25,566 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  

On cherche à approcher ces bénéfices par une fonction.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; + \infty[$ par $f(x) = - \e^{\left(-\frac{x}{2}+ 4 \right)} + 30$.

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4 unités en ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  On considère que l'approximation des bénéfices par $f$ est satisfaisante si la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_{i}$ et les valeurs approchées $f\left(x_{i}\right)$ est inférieure à $0,5$.

L'approximation par $f$ est-elle satisfaisante ? (Le résultat obtenu à l'aide de la calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote $D$ dont on précisera l'équation.
		\item Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $D$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; + \infty[$ et dresser le tableau de variations.
		\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le modèle que constitue la fonction $f$, en quelle année le bénéfice évalué au 1\up{er} janvier dépassera-t-il \np{29800} euros ?
		\item Ce bénéfice atteindra-t-il \np{30000} euros ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$, en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence dans les questions précédentes.
 \end{enumerate}
 

  
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.

 $10\,\%$ des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.

Un joueur tire un jeton au hasard.

\begin{itemize}
\item S'il est rouge, il remporte le gain de base. 
\item S'il est blanc, il remporte le carré du gain de base. 
\item S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On suppose que le gain de base est 2 euros.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité sur l'ensemble des résultats possibles.

		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.
	\end{enumerate}

\item On cherche à déterminer la valeur $g_{0}$ du gain de base, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro.

 Soit $x$ le gain de base en euros.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = -0,1x^3 + 0,3x^2 + 0,6x\]

		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Déterminer $f'(x)$.

		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

		\item Conclure sur le problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

La figure ci-dessous, représente un pavé droit ; le point O est le milieu de $[AD]$.

Soit $P$ le milieu du segment $[EF]$.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.25)(2.5,2.75)
\psset{Alpha=90,coorType=2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.1 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\pstThreeDCoor[xMin=-2,yMin=-1,zMin=-1,xMax=2,yMax=2,zMax=2.5,linecolor=black,linewidth=1pt]
\pstThreeDBox[linecolor=bleu,linewidth=1pt,linestyle=solid](-1,0,0)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0)
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=1,yMax=1,zMax=1,nameX=,nameY=,nameZ=,linewidth=1.75pt]
\pstThreeDPut(0.1,0.15,-.1){O}
\pstThreeDPut(0.5,-.05,.05){\red $\vec i$}
\pstThreeDPut(-0.1,0.5,.05){\red $\vec j$}
\pstThreeDPut(-.1,.05,0.5){\red $\vec k$}
\pstThreeDPut(0,-0.1,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu 2}}}}
\pstThreeDPut(1,0,-.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu A}}}}
\pstThreeDPut(1,1,-.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu B}}}}
\pstThreeDPut(-1,1.1,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu C}}}}
\pstThreeDPut(-1.1,-0.2,0){\small{\textsf{\textbf{\bleu D}}}}
\pstThreeDPut(-1,1,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu G}}}}
\pstThreeDPut(-1,0,2.1){\small{\textsf{\textbf{\bleu H}}}}
\pstThreeDPut(1,-.1,2){\small{\textsf{\textbf{\bleu E}}}}
\pstThreeDPut(1,1.1,2){\small{\textsf{\textbf{\bleu F}}}}
\end{pspicture}
 \end{center} 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $z =2$ ?

\item Déterminer une équation du plan $(ABF)$.

\item En déduire un système d'équations qui caractérise la droite $(EF)$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $G$ et $P$ ? 

\item Placer sur la figure le point $Q$ de coordonnées $(0 ; 0,5 ; 0)$. 

\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(APQ)$.

\end{enumerate}

\item	\begin{enumerate}\item Construire sur la figure les segments $[PQ]$ et $[AG]$. 

\item Le point $G$ appartient-il au plan $(APQ)$ ? Justifier.

\end{enumerate}

\item On construit la figure précédente à l'aide d'un logiciel de géométrie, puis on demande au logiciel de représenter le point d'intersection des droites $(AG)$ et $(PQ)$. Quelle pourrait être la réponse de l'ordinateur ?

\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des quatre questions, une et une seule affirmation est exacte. 

\textbf{Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l'affirmation exacte ; aucune justification n'est demandée sauf pour la question 4.}

\emph{ Barème des trois premières questions} :

\emph{À chaque question est attribué $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à zéro.}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$ et $B$ deux évènements. Il est possible que :
\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p(A) =0,8$ et $p(B)= 0,4$ et $p\left(A \cap B\right) = 0,1$.
\item[\textbullet] $p(A) =0,7$ et $p(B)= 0,5$ et $p\left(A \cap B\right) = 0,2$.
\item[\textbullet] $p(A) =0,8$ et $p(B)= 0,9$ et $p\left(A \cap B\right) = -0,1$.
\end{itemize}

\item Soient $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $p(A) = 0,3$ et $p(B) = 0,2$. Alors :

\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p\left(A \cap B\right) = 0,5$.
\item[\textbullet] Les informations précédentes ne suffisent pas à calculer $p\left(A \cap B\right)$.
\item[\textbullet] $p\left(A \cap B\right) = 0,06$.
\end{itemize}


\item Si $A$ et $B$sont deux évènements incompatibles mais non impossibles, alors $A$ et $B$ sont indépendants.

\begin{itemize}
\item[\textbullet] Cette affirmation est vraie.
\item[\textbullet] Cette affirmation est fausse.
\item[\textbullet] On ne peut pas savoir.
\end{itemize}

\item On justifiera soigneusement la réponse à cette question.

On répète quatre fois de manière indépendante une expérience aléatoire dont la probabilité de succès est 0,35. Alors la probabilité d'obtenir au moins un succès est:

\begin{itemize}
\item[\textbullet] environ 0,015.
\item[\textbullet] environ 0,821.
\item[\textbullet] environ 0,985.
\end{itemize}

\end{enumerate}

 
\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2 ; 10]$. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

On précise que le point d'abscisse 4,83 de $\mathcal{C}_{f}$ a pour ordonnée 1,86 et que cette valeur est le maximum de la fonction $f$.

On note $\mathcal{C}_{F}$ la courbe représentative de la primitive $F$ de $f$ qui s'annule en 1. On précise que le point $A(5 ; 5,43 )$ appartient à $\mathcal{C}_{F}$.

On note $\mathcal{C}_{f'}$ la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ de $f$.

Toutes les estimations graphiques seront données à 0,25 près. Les résultats des calculs numériques seront arrondis à $10^{-2}$.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2/2-2)*EXP(-x/2)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-2)(10,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(10,3)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt, linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$} \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$} 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{10}{\f}
\uput[ul](10,1.4){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) $\mathcal{C}_{f'}$ est située en dessous de l'axe des abscisses.
		\item Déterminer, en justifiant, l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_{F}$ en $A$.
		\item Préciser, en justifiant, le sens de variation de $F$ sur l'intervalle $[-2 ; 10]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\int_{1}^5 f(t) \dd t$.
		\item Rappeler la formule de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle $[a ; b]$ et donner une interprétation de cette notion dans le cas où $f$ est positive.
		\item Donner la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1 ; 5]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}