sujet : pondichéry

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit f la fonction définie sur $]4;+\infty [$ par $f\left(x\right)=-2x+1-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$ et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. Une autre expression de $f\left(x\right)$ est :

   • $f\left(x\right)=-2x+1-{\displaystyle \frac{2}{x-1}}$ ;

   • $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-9x+12}{4-x}}$ ;

   • $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2+9x-2}{4-x}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $]4;+\infty [$ :$$\begin{array}{lll}f\left(x\right)& =& -2x+1-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}\\ & =& -2x+1+{\displaystyle \frac{8}{4-x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(-2x+1\right)\left(4-x\right)+8}{4-x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-8x-x+4+8}{4-x}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-9x+12}{4-x}}\end{array}$$

   Ainsi une autre expression de $f\left(x\right)$ est $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-9x+12}{4-x}}$.

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2. Soit $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $]4;+\infty [$. Une expression de $f\prime \left(x\right)$ est :

   • $f\prime \left(x\right)=-2-{\displaystyle \frac{8}{{\left(x-4\right)}^2}}$ ;
   • $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2-x\right)\left(x-6\right)}{{\left(x-4\right)}^2}}$ ;

   • $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x-24}{{\left(x-4\right)}^2}}$.

   $f\left(x\right)=-2x+1-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$ d'où :$$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -2-{\displaystyle \frac{-8}{{\left(x-4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2{\left(x-4\right)}^2+8}{{\left(x-4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2\left(x^2-8x+16\right)+8}{{\left(x-4\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2+16x-24}{{\left(x-4\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+16x-24}{{\left(x-4\right)}^2}}$.

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3. La courbe $\Gamma$ admet pour asymptote :

   • la droite d'équation $y=4$ ;

   • la droite d'équation $x=4$ ;

   • la droite d'équation $y=4x$.

   La fonction f étant définie sur $]4;+\infty [$, étudions $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

   $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }x-4=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}=-\infty$. D'autre part $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }-2x+1=-7$. Donc $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

   Ainsi la courbe $\Gamma$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=4$.

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4. La droite d'équation $y=-2x+1$ est :

   • asymptote à la courbe $\Gamma$ ;

   • située en dessous de la courbe $\Gamma$ ;
   • tangente à la courbe $\Gamma$.

   Étudions $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)\right)$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $]4;+\infty [$, $f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)=-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-4=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{8}{x-4}}=0$. Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-\left(-2x+1\right)\right)=0$.

   La droite d'équation $y=-2x+1$ est asymptote à la courbe $\Gamma$ en $+\infty$.

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5. Une primitive de f sur $]4;+\infty [$ est la fonction $x\to F\left(x\right)$ donnée par :

   • $F\left(x\right)=-x^2+x+8{\left(x-4\right)}^2$
   • $F\left(x\right)=-x^2+x+8\ln \left(x-4\right)$

   • $F\left(x\right)=-x^2+x-8\ln \left(x-4\right)$

   Pour tout réel x de l'intervalle $]4;+\infty [\text{, }x-4>0$

   Or sur l'intervalle $]4;+\infty [$ la fonction $g:x\to -{\displaystyle \frac{8}{x-4}}$ se présente sous la forme $-8\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u\left(x\right)=x-4$.

   Donc une primitive sur l'intervalle $]4;+\infty [$ de la fonction g est la fonction $x\to -8\times \ln \left(x-4\right)$(Voir le théorème)u est une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur I. Alors, une primitive sur I de la fonction ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ est la fonction :
   $x\to \ln u\left(x\right)$ si $u\left(x\right)>0$ sur I.

   D'autre part une primitive sur l'intervalle $]4;+\infty [$ de la fonction $x\to -2x+1$ est la fonction $x\to -x^2+x$

   Donc par somme la fonction F donnée par $F\left(x\right)=-x^2+x-8\ln \left(x-4\right)$ est une primitive de f sur $]4;+\infty [$.

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