sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

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1. La population d'une commune rurale diminue de 2% par an. Sa population aura diminué de moitié dans :

   Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 2% par an est 0,98

   Soit P₀ la population initiale, au bout de n années la population sera $P_n={\mathrm{0,98}}^n\times P_0$

   Par conséquent la population aura diminué de moitié pour n solution de l'équation : ${\mathrm{0,98}}^n\times P_0=\mathrm{0,5}\times P_0$

   Or : $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,98}}^n\times P_0=\mathrm{0,5}\times P_0& \iff & {\mathrm{0,98}}^n=\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln {\mathrm{0,98}}^n=\ln \mathrm{0,5}& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs : }\ln a=\ln b\text{ équivaut à }a=b\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,98}=\ln \mathrm{0,5}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier relatif }n\text{: }\ln \left(a^n\right)=n\ln a\\ & \iff & n={\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,98}}}\approx \mathrm{34,31}& \end{array}$$

   Ainsi la population aura diminué de moitié dans 35 ans.

   a.   15 ans

   b.  20 ans

   c.   35 ans

   d.   50 ans

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2. Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article :

   Soit t % le pourcentage de l'augmentation (ou de la baisse). Le coefficient multiplicateur associé à l'augmentation suivie de la baisse est :

   $\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)=1-{\displaystyle \frac{t^2}{10000}}$

   Or $1-{\displaystyle \frac{t^2}{10000}}<1$ donc le le prix de l'article a baissé. ( Il a même baissé de $\mathrm{0,01}{t}^2\%$)

   a.   a augmenté

   b.  a baissé

   c.   n'a pas varié

   d.   on ne peut pas savoir

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3. La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d'accroissement moyen annuel a été de :

   Soit x l'écriture décimale du taux d'accroissement moyen annuel entre 1960 et 2000, alors x et solution de l'équation :

   ${\left(1+x\right)}^{40}=2\iff 1+x=2^{{\displaystyle \frac{1}{40}}}$. Soit $x=2^{\mathrm{0,025}}-1$ d'où $x\approx \mathrm{0,01748}$

   a.   3 %

   b.   2,75 %

   c.   2,5 %

   d.   1,75 %

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4. Pour tout réel x, ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{3x-1}$ est égal à :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{llll}{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{3x-1}& =& {\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{3x-1}& \text{Pour tout réel }a\text{ et pour tout entier relatif }n\text{: }{\left({\mathrm{e}}^a\right)}^n={\mathrm{e}}^{na}\\ & =& {\mathrm{e}}^{2x+3x-1}& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{: }{\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b={\mathrm{e}}^{a+b}\\ & =& {\mathrm{e}}^{5x-1}& \\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{5x}}{\mathrm{e}}}& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{: }{\mathrm{e}}^{a-b}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^a}{{\mathrm{e}}^b}}\end{array}$$

   a.  ${\mathrm{e}}^{x^2+3x-1}$

   b.  ${\mathrm{e}}^{2x\left(3x-1\right)}$

   c.  ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{5x}}{\mathrm{e}}}$

   d.  ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\left(x^2\right)}}{{\mathrm{e}}^{1-3x}}}$

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5. Le nombre $-2$ est solution de l'équation :

   La fonction ln est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par conséquent les réponses b et c sont fausses.

   Or pour tout réel x, $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x$ donc $$\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=-2\iff x=-2$$

   a.  ${\mathrm{e}}^x=-2$

   b.  ${\mathrm{e}}^{\ln x}=-2$

   c.  $\ln x=-\ln 2$

   d.  $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=-2$

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6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \left(x+3\right)<\ln 6$ est :

   La fonction ln est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par conséquent l'inéquation $\ln \left(x+3\right)<\ln 6$ est définie pour $x+3>0$ c'est à dire sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$

   Or la fonction ln est croissante sur $\left]0;+\infty \right[$Dire que la fonction ln est croissante sur $\left]0;+\infty \right[$, signifie : pour tous réels a > 0 et b > 0 , a ⩽ b équivaut à ln a ⩽ ln b.

   Ainsi sur $\left]-3;+\infty \right[$ , $$\begin{array}{lll}\ln \left(x+3\right)<\ln 6& \iff & x+3<6\\ & \iff & x<3\end{array}$$

   Comme $x>-3$ alors $S=]-3;3[$

   a.  $S=]-\infty ;3[$

   b.  $S=]-3;3[$

   c.  $S=]0;3[$

   d.  $S=]3;+\infty [$

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7. ${\displaystyle {\int }_1^4{x}^2\mathrm{d}x}=$

   $${\displaystyle {\int }_1^4{x}^2\mathrm{d}x}={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_1^4={\displaystyle \frac{64}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=21$$

   a.  6

   b.  15

   c.  21

   d.  63

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8. La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ de la fonction qui à x associe ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est :

   D'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction La valeur moyenne d'une fonction f continue sur l'ntervalle [a ; b] est le nombre μ défini par :$$\mu ={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[1;3\right]$ de la fonction qui à x associe ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est :$$\mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_1^3{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[\ln x\right]}_1^3={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\ln 3-1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 3=\ln \sqrt{3}$$

   a.  ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b.  ${\displaystyle \frac{2}{3}}$

   c.  $\ln \sqrt{3}$

   d.  $\ln 2$

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