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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2005 \\ Série ES}}} %droit
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\lfoot{La Réunion 2005}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


Au rayon \og image et son \fg{} d'un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. Une personne se présente :


\begin{itemize}
\item la probabilité qu'elle achète le téléviseur est $\dfrac{3}{5}$ ;
\item la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est $\dfrac{7}{10}$ ;
\item la probabilité qu'elle achète le lecteur de DVD si elle n'achète pas le téléviseur est	$\dfrac{1}{10}$.
\end{itemize}


On désigne par $T$ l'évènement : \og la personne achète le téléviseur \fg{} et par $L$ l'évènement : \og la personne achète le lecteur de DVD \fg.

On notera $\overline{T}$ et $\overline{L}$ les évènements contraires respectifs de $T$ et de $L$.
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Déterminer les probabilités des évènements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :
	\begin{enumerate}
		\item \og la personne achète les deux appareils \fg
		\item \og la personne achète le lecteur de DVD \fg
 		\item \og la personne n'achète aucun des deux appareils \fg.
 	\end{enumerate}
\item Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu'elle achète aussi le téléviseur est $\dfrac{21}{23}$.
 \item Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500 \euro{} et le lecteur de DVD 200 \euro{}. 
 
 Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15\,\% pour l'achat d'un seul des deux appareils et de 25\,\% pour l'achat des deux appareils. 
 
 On désigne par $D$ la dépense effective (en \euro) de la personne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les valeurs possibles de $D$.
		\item Déterminer la loi de probabilité de $D$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $D$.
		\item Le responsable du rayon \og image et son \fg{} prévoit qu'il se présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. 
		
		Quel chiffre d'affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 


\pagebreak

\exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} 

\emph{Une seule réponse par question est acceptée et aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note totale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
 
 \item La population d'une commune rurale diminue de 2\,\% par an. Sa population aura diminué de moitié dans :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 15 ans &	\textbf{B} : 20 ans&	\textbf{C} : 35 ans &	\textbf{D} : 50 ans 
 \end{tabularx}
  \medskip 
 
 \item Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article :
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : a augmenté&	\textbf{B} : a baissé&	\textbf{C} : n'a pas varié&	\textbf{D} : on ne peut pas savoir
 \end{tabularx}
 
 \medskip 
 
 \item La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d'accroissement moyen annuel a été de :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 3\,\%&	\textbf{B} : 2,75\,\%	&\textbf{C} : 2,5\,\%&	\textbf{D} : 1,75\,\%
 \end{tabularx}

\medskip

\item Pour tout réel $x$, $\left(\e^x\right)^2  \times \e^{3x - 1}$ est égal à :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A}  : $\e^{x^2 + 3x - 1}$ & 	\textbf{B}  : $\e^{2x(3x - 1)}$ &	\textbf{C}  : $\dfrac{\e^{5x}}{\e}$&	\textbf{D} : $\dfrac{\e^{\left(x^2\right)}}{\e^{1-3x}}$
 \end{tabularx}
 
 \medskip

\item Le nombre $-2$ est solution de l'équation :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $\e^x= -2$&	\textbf{B} : $\e^{\ln x}   = -2$&	\textbf{C} : $\ln x = - \ln 2$&	\textbf{D} : $\ln \e^x = - 2$
 \end{tabularx}
 
 \medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln (x + 3) < \ln 6$ est :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $S=]-\infty ; 3[$&	\textbf{B} : $S = ]-3 ; 3[$&	\textbf{C} : $S=]0 ; 3[$&	\textbf{D} : $S = ]3 ; +\infty[$
 \end{tabularx}
  
 \medskip

\item La valeur moyenne sur l'intervalle $[1 ; 3]$ de la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$ est :  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : 6 &	\textbf{B} : 15&	\textbf{C} : 21&	\textbf{D} : 63
 \end{tabularx}
   
 \medskip

\item $\displaystyle\int_{1}^4 x^2 \dd x = $  
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $\dfrac{1}{2}$ &	\textbf{B} : $\dfrac{2}{3}$&	\textbf{C} : $\ln \sqrt{3}$&	\textbf{D}: $\ln 2$
 \end{tabularx}
\end{enumerate}
 
\pagebreak


\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


Sur un parcours donné, la consommation $y$ d'une voiture est donnée en fonction de sa vitesse moyenne $x$ par le tableau suivant :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ (en km/heure)	& 80 & 90 & 100 & 110 & 120 \\ \hline
$y$ (en litres/100 km)&	4 &	4,8 & 6,3 & 8 &	10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 2 cm pour 10 km/h sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 1 litre sur l'axe des ordonnées).
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage et le placer sur le graphique.
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme $y = ax + b$, de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés et tracer cette droite (on arrondira $a$ au millième et $b$ au centième).
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture pour une vitesse de 130 km/h.
	\end{enumerate}
\item La forme du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. 

On pose : $z = \ln y$ et on admet que la droite d'ajustement obtenue pour les cinq points $(x ; z)$ du nuage par la méthode des moindres carrés, a pour équation $z =  0,0234 x -  0,5080$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $y$ sous la forme $y = A\e^{Bx}$~ (donner $A$ et $B$  arrondis à $10^{-4}$).
		\item Tracer, sur le même graphique, la courbe d'équation $y = A\e^{Bx}$ pour $x$ élément de l'intervalle $[80 ; 120]$.
		\item En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km (arrondie au dixième) de la voiture, pour une vitesse de 130 km/h.
	\end{enumerate}
\item Des deux valeurs obtenues dans les questions  {2. d)}  et  {3. c)}, pour la consommation à une vitesse de 130 km/h, laquelle vous semble la plus proche de la consommation réelle ? Expliquer votre choix.
\end{enumerate}
 
 
\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip


Le 1\up{er} janvier 2005, une grande entreprise compte  \np{1500} employés. 

Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10\,\% de l'effectif du 1\up{er} janvier partira à la retraite au cours de l'année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
 
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_{n }$ le nombre d'employés de l'entreprise le 1\up{er} janvier de l'année $2005+n$.
 
\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$.
 
La suite $u$ de terme général $u_{n}$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.
 
		\item Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}  = 0,9 u_{n} + 100$.
 
	\end{enumerate}
 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_{n} = u_{n} -1000$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $v$ de terme général $v_{n}$ est géométrique. Préciser sa raison.

		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
 
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 500 \times 0,9^n +1000$.
 
		\item Déterminer la limite de la suite $u$.
 
	\end{enumerate} 
 
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_{n} = - 50 \times 0,9^n$.
 
En déduire le sens de variation de la suite $u$.
 
\item Au 1\up{er} janvier 2005, l'entreprise compte un sur-effectif de 300 employés. 

À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sur-effectif ? 

\end{enumerate}


\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip


On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $]0 ;  1[\,\cup\, [1 ; + \infty[$
par  $f(x) = \dfrac{1}{x \ln x}$ et on nomme $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.


\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16,4) \psline(2.2,0)(2.2,4) \psline(0,3)(16,3)\psline(0,2)(2.4,2) \psline(2.6,2)(11.4,2)\psline(11.6,2)(16,2)
\psline(2.4,0)(2.4,3) \psline(2.6,0)(2.6,3)\psline(11.4,0)(11.4,3) \psline(11.6,0)(11.6,3)
\rput(1.1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){0} \rput(7,3.5){$\dfrac{1}{\e}$} \rput(11.5,3.5){$1$}\rput(15.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(1.1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$+$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$-$}\rput(13.5,2.5){$-$}
\rput(1.1,1){$f(x)$} \rput(3,.3){\rnode{A}{$-\infty$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$-\e$}} \rput(11,.3){\rnode{C}{$-\infty$}}\rput(12,1.7){\rnode{D}{$+\infty$}} \rput(15.5,.3){\rnode{E}{0}}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{D}{E}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Justifier les éléments suivants donnés par ce tableau de variations :

signe de $f'(x)$ ;  limites aux bornes de l'ensemble de définition ; image de $\dfrac{1}{\e}$ par $f$.
 
\emph{On admet que : $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$.}
\item Combien la courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle d'asymptotes ? Donner une équation de chacune d'elles.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point $A$ d'abscisse $\dfrac{1}{\e}$.
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point $B$ d'abscisse $\e$.
	\end{enumerate} 
\item Indiquer pour quelles valeurs du réel $k$ l'équation $f(x) = k$.
	\begin{enumerate}
		\item ne possède aucune solution  ;
		\item possède une solution unique ; 
		\item possède deux solutions distinctes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
(Aucune justification n'est attendue dans cette question, on pourra s'aider de la représentation graphique de la fonction $f$ obtenue à l'aide de la calculatrice)

\end{document}