sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit une fonction r définie sur $\left[0;12\right]$ par $r\left(x\right)=\left(900x\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$.

A) ÉTUDE D'UNE FONCTION f

1. On considère la fonction f définie sur $]0;12]$ par $f\left(x\right)=\ln [r\left(x\right)]$.
   Démontrer que $f\left(x\right)=\ln \left(900\right)+\ln x-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)$.

2. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f, démontrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{10-x}{10x}}$.

3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ pour tout x de $]0;12]$ puis dresser le tableau de variations de f sur $]0;12]$.

4. On désigne par $r\prime$ la fonction dérivée de r, exprimer $f\prime$ en fonction de $r\prime$ et de r puis justifier que $r\prime \left(x\right)$ et $f\prime \left(x\right)$ ont le même signe pour tout x de $]0;12]$.

   • Théorème :

     Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction $\ln \left(u\right)$ est dérivable sur I et sa dérivée est $\left(\ln u\right)\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

   • Étudier le signe de $r\left(x\right)$ sur $]0;12]$

5. En déduire les variations de r sur $]0;12]$.

6. Déterminer pour quelle valeur $x_0$ la fonction r atteint un maximum et calculer $r\left(x_0\right)$ arrondi à l'unité près.

B) CALCUL DE LA VALEUR MOYENNE

1. Démontrer que la fonction R définie par $R\left(x\right)=-9000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}\left(x-2\right)}$ est une primitive de la fonction r sur $[0;12]$.

   Dire que R est une primitive de la fonction r sur $[0;12]$, signifie que pour tout réel x de l'intervalle $[0;12]$, $R\prime \left(x\right)=r\left(x\right)$ .

2. Calculer la valeur moyenne $r_m$ de la fonction r sur $[0;12]$ définie par $r_m={\displaystyle \frac{1}{12}}{\displaystyle {\int }_0^{12}r\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   On donnera d'abord la valeur exacte et ensuite une valeur arrondie à 10^-2 près.

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