Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : centres étrangers

indications pour l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les résultats seront arrondis à 10^-3 près.

Un musée très fréquenté propose à la vente trois sortes de billets :

au prix de 5 € un billet pour visiter uniquement le fonds permanent des collections ;
au prix de 3 € un billet pour visiter uniquement une exposition temporaire ;
au prix de 6 € un billet pour visiter le fonds permanent et l'exposition temporaire.

On sait que :

85% des visiteurs visitent le fonds permanent ;
35% des visiteurs visitent l'exposition temporaire.

Un visiteur se présente à l'entrée du musée et achète un billet. On considère les évènements suivants :

F : « Le visiteur achète un billet à 5 € » ;
E : « Le visiteur achète un billet à 3 € » ;
M : « Le visiteur achète un billet à 6 € ».

1. Établir que $p (M) = 0,2$ ; $p (F) = 0,65$ et $p (E) = 0,15$ .
  
  $p (F) + p (E) + p (M) = 1$
2. Calculer le prix de vente moyen d'un billet.
  
  Espérance mathématique...
Le musée propose à la vente un catalogue sur l'exposition temporaire. On sait que :
- 35% des personnes qui ne visitent que l'exposition temporaire achètent le catalogue.
- 25% des personnes qui visitent le fonds permanent et l'exposition temporaire achètent le catalogue.
- 97% des visiteurs du seul fonds permanent n'achètent pas le catalogue.
On considère l'évènement C : « Le visiteur achète le catalogue »
Démontrer que $p (C) = 0,122$ (on pourra s'aider d'un arbre).

E, F et M forment une partition alors , d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $p (C) = p (C \cap E) + p (C \cap F) + p (C \cap M)$
Un visiteur a acheté le catalogue. Quelle est la probabilité qu'il n'ait pas visité l'exposition temporaire ?

Il s'agit de calculer la probabilité qu'un visiteur a acheté un billet à 5 €, sachant qu'il a acheté le catalogue
Quelle est la probabilité que, parmi trois visiteurs du musée venus indépendamment les uns des autres, au moins un n'ait pas acheté le catalogue ?

L'évènement "un visiteur au moins n'a pas acheté le catalogue" est l'évènement contraire de "les trois visiteurs ont acheté le catalogue".

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