sujet : centres étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante.

1. Dans une région, on considère trois types de temps : beau, variable, pluvieux. On sait que :

   • S'il fait beau un jour donné, la probabilité qu'il fasse beau le lendemain est ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et la probabilité qu'il pleuve est ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
   • Si le temps est variable, la probabilité qu'il soit variable le lendemain est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et la probabilité qu'il pleuve est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.
   • S'il pleut, la probabilité qu'il pleuve le lendemain est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et la probabilité qu'il fasse beau est ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   On note  B : «le temps est beau»; V : « le temps est variable » ; P : « le temps est pluvieux ».

   1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.

      Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités sur les arcs issus d'un même sommet est égale à 1.

      Par hypothèse :

      • $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{P}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}$ donc $p_{\mathrm{B}}\left(\mathrm{V}\right)=1-\left({\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$
      • $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{V}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{P}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc $p_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{B}\right)=1-\left({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$
      • $p_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{P}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $p_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{B}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc $p_{\mathrm{P}}\left(\mathrm{V}\right)=1-\left({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

      D'où le graphe probabiliste ci-contre traduisant la situation.

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   2. Donner la matrice de transition de ce graphe. Les sommets B, V, P seront rangés dans cet ordre.

      La matrice de transition M de ce graphe est : $M=\left({\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}}\right)$.

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   3. Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste dans n jours est défini par la matrice ligne $P_n=\left(\begin{array}{ccc}{b}_n& v_n& p_n\end{array}\right)$ où $b_n$ désigne la probabilité qu'il fasse beau dans n jours, $v_n$ la probabilité que le temps soit variable dans n jours et $p_n$ la probabilité qu'il pleuve dans n jours.
      Aujourd'hui il fait beau, on a donc $P_0=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)$ matrice ligne décrivant l'état initial.
      Déterminer la probabilité de chaque type de temps dans 2 jours.

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste dans deux jours est $P_2=P_0\times M^2$ (Voir la propriété) Si M est la matrice de transition d'un graphe probabiliste à k sommets, si $P_0$ est la matrice ligne décrivant l'état initial, et $P_n$ l'état probabiliste à l'étape n alors, $P_n=P_0{M}^n$.

      Soit $$P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)\times {\left({\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)\times \left({\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{23}{72}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{25}{72}}\\ {\displaystyle \frac{19}{48}}& {\displaystyle \frac{5}{16}}& {\displaystyle \frac{7}{24}}\\ {\displaystyle \frac{17}{48}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}& {\displaystyle \frac{13}{48}}\end{array}}\right)=\left({\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{23}{72}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{25}{72}}\end{array}}\right)$$

      Dans deux jours, la probabilité qu'il fasse beau est égale à ${\displaystyle \frac{23}{72}}$, la probabilité que le temps soit variable est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et la probabilité qu'il pleuve est égale à ${\displaystyle \frac{25}{72}}$.

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2. Dans une autre région, on note B : « il fait beau », $\overline{\mathrm{B}}$ : « il ne fait pas beau ». Les variations du temps sont représentées par le graphe suivant :

   1. Donner la matrice de transition T de ce graphe.

      La matrice de transition de ce graphe est $T=\left({\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}}\right)$

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   2. Soit $Q=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$. Déterminer x et y tels que $Q=QT$ et interpréter le résultat.

      $\begin{array}{ccccc}Q=QT& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\times \left({\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}}\right)& \iff & \left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)=\left({\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}y& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}y\end{array}}\right)\end{array}$. Soit $\{\begin{array}{ccc}x& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}y\\ y& =& {\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}y\end{array}$.

      D'autre part, $x+y=1$ donc x et y sont les solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rll}x& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{3}{4}}y\\ x+y& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rll}{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{3}{4}}y& =& 0\\ x+y& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{17}{12}}x& =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ x+y& =& 1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{ccc}x& =& {\displaystyle \frac{9}{17}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{8}{17}}\end{array}\end{array}$$

      Ainsi $x={\displaystyle \frac{9}{17}}$ et $y={\displaystyle \frac{8}{17}}$.

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      $Q\left({\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{9}{17}}& {\displaystyle \frac{8}{17}}\end{array}}\right)$ est la solution de l'équation $Q=Q\times T$. Donc Q est l'état stable du système. (Voir le théorème) Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.

      Dans cette région, $p\left(B\right)={\displaystyle \frac{9}{17}}$ et $p\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{8}{17}}$.

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