sujet : France Métropolitaine

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}-{\displaystyle \frac{1}{x+4}}$.

partie a

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée.

   Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

2. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

3. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

4. 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$

   2. On admet qu'il existe un unique nombre réel positif α tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

      Donner le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

5. 1. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième)

      x	1,32	1,325	1,33
      $f\left(x\right)$

   2. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre α tel que $f\left(\alpha \right)=0$.

partie b

1. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-3}-\ln \left(x+4\right)$.

   1. La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ . On note $g\prime$ sa fonction dérivée.

      Calculer $g\prime \left(x\right)$ pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   2. Étudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ en utilisant les résultats de la partie a.

2. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_0^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
   (Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).

   Dire que $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, signifie que g est une primitive de la fonction f sur $\left[0;+\infty \right[$.

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