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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2006 \\ Série ES}}} %droit
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{sujet Nouvelle Calédonie}}}}} %centre
%pied de page
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\lfoot{Nouvelle Calédonie 2006}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la figure 1 est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-4 ; + \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{vertf}{.1 .4 .3}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+3)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(5,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.131}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.5,6)(3,-3)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](-2,0)(-2,7.389)(0,7.389)
 \uput[ul](-3,0){\bleu $A$} \uput[u](-2,7.389){\bleu $B$} \uput[r](0,3){\bleu $C$} \uput[r](0,7.389){\red $\e^2$}
\uput[ur](-3,-3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[r](2,-.75){\prune $D$}
\rput(0.5,-3.4){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

On donne les renseignements suivants :


\begin{itemize}
\item les points $A(-3 ; 0)$, $B\left(-2 ; \e^2\right)$ et $C(0 ; 3)$ sont des points de la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ ;
\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $+ \infty$.
\item la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[- 2 ; + \infty[$ ;
\item la droite tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point $C$ passe par le point $D(2 ; - 1)$. 
\end{itemize}

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse à l'aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $1$.
\item $f'(0) = - \dfrac{1}{2}$.
\item  Pour tout $x$ élément de l'intervalle $[- 2 ; + \infty[$, on a : $f'(x) \leqslant  0$.
\item  Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 4 ; + \infty[$, alors la fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[- 2 ; + \infty[$.
\item $\displaystyle\int_{-2}^0 	f(x) \dd x < 15$.
\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire d'analyse médicale. L'installateur assure une maintenance à l'issue de chaque semaine d'utilisation. Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l'appareil), soit une assistance téléphonique suffit.

\`A l'issue d'une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles  :

\begin{itemize}
\item Situation A :  l'appareil a fonctionné normalement ;
\item Situation B :  l'appareil a eu des arrêts épisodiques ;
\item Situation C : l'appareil a eu des arrêts très fréquents.
\end{itemize}

\medskip

Dans la situation A, l'installateur doit se déplacer 1 fois sur 2.

Dans la situation B, l'installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.

\medskip

L'installateur sait par expérience que, à l'issue de chaque semaine de fonctionnement,

\begin{itemize}
\item la probabilité d'être dans la situation A est $0,6$ ;
\item la probabilité d'être dans la situation B est $0,3$ ;
\item la probabilité qu'il doive se déplacer est $0,6$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} L'appareil a été utilisé pendant une semaine.}

\medskip
 

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og On se trouve dans la situation A \fg

$B$ : \og On se trouve dans la situation B \fg

$C$ : \og  On se trouve dans la situation C \fg

$S$ : \og L'installateur se déplace \fg

$T$ : \og L'installateur effectue une assistance téléphonique \fg.

\begin{center}
\emph{On pourra construire un arbre pondéré que l'on complétera au fur et à mesure.}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $T$.
\item Démontrer que, lorsqu'on se trouve dans la situation C, la probabilité que l'installateur se déplace est $0,9$.
\item On sait que l'installateur s'est déplacé. Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }}  L'installateur devra effectuer la maintenance trois semaines de suite.}

\medskip

On admet que les évènements qui surviendront au cours de chacune de ces trois semaines sont indépendants.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'installateur ait à effectuer exactement deux déplacements sur les trois semaines ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la loi de probabilité associée au nombre de déplacements à effectuer sur les trois semaines.
		\item  Montrer que l'espérance mathématique de cette loi vaut $1,8$.
		\item  Pour l'installateur, un déplacement revient à 300 \euro{} (l'assistance téléphonique ne lui coûte rien). L'installateur décide de proposer à son client un forfait pour trois semaines de maintenance.

Déterminer le montant minimum de ce forfait afin que l'installateur puisse espérer rentrer dans ses frais.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La société MERCURE vend des machines agricoles. Suite à une restructuration en 1998 elle a pu relancer sa production et ses bénéfices annuels ont évolué comme indiqué dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Année					&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	& 2004\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$		&	0 	&1		&2 		&	3	&	4 	&	5\\ \hline
Bénéfice en k\euro{}: $y_{i}$	&	64	& 75		&	100	&	113	&	125 	&127\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.

Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
		\item Donner les coordonnées du point moyen $G$ du nuage (arrondir au dixième). Placer le point $G$ dans le repère.
	\end{enumerate}
\item En première approximation, on envisage de représenter le bénéfice $y$ comme une fonction affine du rang $x$ de l'année.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite d'ajustement $(D)$ obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au centième).
		\item Tracer cette droite $(D)$ dans le repère.
		\item Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec cette approximation ?
	\end{enumerate}
\item En observant le nuage de points, on envisage un deuxième modèle d'ajustement donné par $y = f(x)$ avec $f(x)= -2x^2 + 23x +  63$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$.
		\item  Tracer la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ dans le repère de la question 1.
		\item  Quelle prévision ferait-on pour le bénéfice en 2005 avec ce deuxième modèle d'ajustement ?
	\end{enumerate}
\item En réalité, le bénéfice en 2005 est en hausse de 0,9\,\%  par rapport à celui de 2004. 

Des deux ajustements envisagés dans les questions précédentes, quel est celui qui donnait la meilleure prévision pour le bénéfice en 2005 ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{2}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.

Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L'association n'accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.

Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d'envisager le modèle suivant :


\begin{itemize}
\item 70\,\% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
\item  20\,\% des adhérents qui étaient inscrits au judo s'inscrivent au karaté.
\end{itemize}

En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.

On appelle $P_n = {\begin{pmatrix} a_n  & b_n  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l'année $2003 + n$ :

 
\begin{itemize}
\item  $a_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l'année  $2003 + n$
\item $b_{n}$ représente la proportion des adhérents inscrits au judo l'année $2003 + n$
\item $a_{n} + b_{n} = 1$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
\item Déterminer l'état initial $P_0 = {\begin{pmatrix} a_0  & b_0  \\ \end{pmatrix} }$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe. 
		
		(Rappel $M$ est la matrice telle que : $P_{n+1} = P_{n}  \times  M$.)
		\item En admettant que, en 2005, 36,25\,\%  des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75\,\% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d'adhérents correspondants.)
	\end{enumerate}
\item Soit $P= {\begin{pmatrix} x  & y  \\ \end{pmatrix} }$ la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P \times M = P$.

(Rappel : $x$ et $y$ sont des nombres réels tels que $x + y = 1$)
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les nombres $x$ et $y$.
		\item  En déduire la limite de $a_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Dans la même ville, un club de judo accepte de nouveaux adhérents : chaque année le nombre de ses adhérents augmente de 10\,\%.

Le club comptait 405 adhérents en 2003. En utilisant une calculatrice, trouver en quelle année l'effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l'effectif de la section judo de l'association étudiée dans les questions précédentes ?

\end{enumerate}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 6 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a : } Étude préliminaire}}

\medskip

On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $]-3 ; + \infty[$

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3)\psline(1.9,0)(1.9,2.2)\psline(2.1,0)(2.1,2.2)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$-3$} \rput(6.2,2.6){$-2$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$g(x)$} \rput(2.5,.4){\rnode{A}{$- \infty$}} \rput(10,1.8){\rnode{B}{$2$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}\ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}

 
\begin{enumerate}
\item  On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 2 ; + \infty[$ par : $f(x) = \ln [g(x)]$.
	\begin{enumerate}
		\item	Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 2 ; + \infty[$.
		\item	Déterminer la limite de $f$ en $(- 2)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$ , puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item	 Soit $G$ la primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle $]- 3 ; + \infty[$ qui est telle que : $G(-2) = 0$.

Démontrer que la fonction $G$ admet un minimum en $(-2)$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, la fonction $g$  est la fonction définie sur l'intervalle $]- 3 ; + \infty[$ par : $g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}$.

\begin{enumerate}
\item En utilisant cette définition de la fonction $g$ retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.
\item Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction $f$ par :
\begin{center}
pour tout $x$ élément de l'intervalle $]- 2 ; + \infty[$, $f(x ) = \ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)$
\end{center}
Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de cette fonction $f$ relativement à un repère orthogonal. 

La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est représentée sur la figure fournie en annexe.
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.

Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.
		\item La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point $A$. En utilisant l'expression de $f(x)$, déterminer les coordonnées du point $A$ et placer ce point sur la figure fournie en annexe.
		\item Déterminer une équation de la droite $(T)$ tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $(- 1)$. Tracer la droite $(T)$ sur la figure fournie en annexe.
	\end{enumerate}
\item	Comme dans la deuxième question de la partie A, on définit la fonction $G$ par :

$G$ est la primitive sur l'intervalle $]-3 ;  + \infty[$ de la fonction $g : x  \mapsto  2 - \dfrac{2}{x + 3}$ et 	$G(-2) = 0.$

Calculer $G(x)$ pour $x$ réel de l'intervalle $]- 3 ; + \infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\medskip
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-12)(22,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(2-2/(x+3))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-12)(22,10)
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(5.5,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5.5,0){$x$} \uput[dl](0,1.25){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.87443}{5.5}{\f}
\uput[l](5.5,.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
        
\end{document}