sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la bonne affirmation. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

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1. Si la fonction f est strictement croissante sur $ℝ$ alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet :

   Théorème de la valeur intermédiaire

   Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   • Si la fonction f n'est pas continue sur $ℝ$ alors, on n'est pas certain que l'équation $f\left(x\right)=0$ admette une solution.

   • Si la fonction f est continue et strictement croissante sur $ℝ$ alors :

     • si il n'existe pas deux réels a et b tels que 0 soit compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution.
     • si il existe deux réels a et b tels que $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution.

   Les différents cas sont illustrés ci-dessous :

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   Équation $f\left(x\right)=0$
   f n'est pas continue, $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires : Pas de solution.	Pour tout réel x$f\left(x\right)>0$ Pas de solution.	Pour tout réel x$f\left(x\right)<0$ Pas de solution.	f est continue, $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires : Une seule solution.

   Par conséquent, si une fonction f est strictement croissante sur $ℝ$ alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet au plus une solution.

   • Au moins une solution.

   • Au plus une solution.

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   • Exactement une solution.

2. Si la fonction f est continue sur $\left[a;b\right]$ et si $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet :

   Théorème des valeurs intermédiaires appliqué au cas particulier où $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires.

   Soit f une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ , si $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires alors, il existe au moins un réel c de $\left[a;b\right]$ tel que $f\left(c\right)=0$.

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   Équation $f\left(x\right)=0$
   f n'est pas monotone Plusieurs solutions sont possibles.	f est strictement croissante Une seule solution.	f est strictement décroissante Une seule solution.

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   Par rapport au théorème de la valeur intermédiaire, c'est l'hypothèse "la fonction f est strictement monotone" qui n'est pas vérifiée

   D'après le théorème, si la fonction f est continue sur $\left[a;b\right]$ et si $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet au moins une solution.

   • Au moins une solution.

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   • Au plus une solution.

   • Exactement une solution.

3. Si la fonction f est continue et positive sur $\left[a;b\right]$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. En unités d'aire, l'aire A du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est donnée par la formule :

   théorème :

   Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

   • $\mathrm{A}={\displaystyle {\int }_b^{a}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • $\mathrm{A}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • $\mathrm{A}=f\left(b\right)-f\left(a\right)$.

4. Un produit coûte initialement 500 euros. Son prix augmente de 20%. Si l'on veut revenir au prix initial, il faut :

   Une aumentation de 20% sur un montant de 500 € est égale à 100€.

   Rappel :une augmentaion de t% n'est pas compensée par une baisse de t%.

   • Diminuer le prix de 20%.

   • Diminuer le prix de ${\displaystyle \frac{1}{20}}\%$.

   • Diminuer le prix de 100 euros.

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