sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Déterminer : $p\left(A\right)$, $p\left(T\right)$, $p\left(V\right)$, $p_A\left(V\right)$ et $p_T\left(V\right)$.

   D'après les données de l'énoncé :

   • 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles alors, $p\left(A\right)=\mathrm{0,4}$.

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   • 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques alors, $p\left(T\right)=\mathrm{0,35}$.

     ---

   • Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe alors, $p\left(V\right)=\mathrm{0,4}$.

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   • 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe alors, $p_A\left(V\right)=\mathrm{0,6}$.

     ---

   • 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe alors, $p_T\left(V\right)=\mathrm{0,2}$.

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   On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre.

2. 1. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.

      $$\begin{array}{lll}p\left(V\cap A\right)& =& p_A\left(V\right)\times p\left(A\right)\\ & =& \mathrm{0,6}\times \mathrm{0,4}\\ & =& \mathrm{0,24}\end{array}$$

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles est égale à 0,24.

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   2. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.

      $$\begin{array}{lll}p\left(V\cap T\right)& =& p_T\left(V\right)\times p\left(T\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,35}\\ & =& \mathrm{0,07}\end{array}$$

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques est égale à 0,07.

      ---

   3. En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.

      A, T et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales : $A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$ $$p\left(V\right)=p\left(V\cap A\right)+p\left(V\cap T\right)+p\left(V\cap D\right)$$

      D'où $$\begin{array}{lll}p\left(V\cap D\right)& =& p\left(V\right)-p\left(V\cap A\right)-p\left(V\cap T\right)\\ & =& \mathrm{0,4}-\mathrm{0,24}-\mathrm{0,07}\\ & =& \mathrm{0,09}\end{array}$$

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques est égale à 0,09.

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3. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.

   $$\begin{array}{lll}{p}_V\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(V\cap A\right)}{p\left(V\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,4}}}\\ & =& \mathrm{0,6}\end{array}$$

   La probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe est égale à 0,6.

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4. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.
   On note $p_n$ la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.

   1. Prouver que : $p_n=1-{\mathrm{0,4}}^n$.

      Choisir n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante, est la répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de clients qui voyagent en première classe est une loi binomiale de paramètres n et 0,4.

      La probabilité que les n clients voyagent en première classe est $q_n={\left(p\left(V\right)\right)}^n={\mathrm{0,4}}^n$.

      L'évènement "au moins un de ces clients voyage en seconde classe" est l'évènement contraire de l'évènement "tous les clients voyagent en première classe".

      Donc $p_n=1-{\mathrm{0,4}}^n$.

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   2. Déterminer le plus petit entier n pour lequel $p_n>\mathrm{0,9999}$.

      $$\begin{array}{llll}{p}_n>\mathrm{0,9999}& \iff & 1-{\mathrm{0,4}}^n>\mathrm{0,9999}& \\ & \iff & -{\mathrm{0,4}}^n>-\mathrm{0,0001}& \\ & \iff & {\mathrm{0,4}}^n<{10}^{-4}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,4}}^n\right)<\ln \left({10}^{-4}\right)& \text{La fonction logarithme est croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,4}<\ln \left({10}^{-4}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left({10}^{-4}\right)}{\ln \mathrm{0,4}}}& \ln \left(\mathrm{0,4}\right)\text{ négatif}\end{array}$$

      Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({10}^{-4}\right)}{\ln \mathrm{0,4}}}\approx \mathrm{10,0518}$ par conséquent :

      Le plus petit entier n pour lequel $p_n>\mathrm{0,9999}$ est 11.

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