sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout $x\in ℝ$ par : $f\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x$.
Dans le repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ})$ d'unité graphique 2 cm sur chaque axe, on note $C_f$ sa représentation graphique et $C_{\exp }$ la représentation graphique de la fonction exponentielle.

1. 1. Déterminer la limite de f en $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2+x+1=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ alors par produit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

      ---

   2. Donner les valeurs de $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{\mathrm{e}}^x$ et de $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x$.

      d'après le théorème sur les croissances comprées au voisinage de $-\infty$ : Pour tout réel x et pour tout entier n strictement positif $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{\mathrm{e}}^x=0$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$.

      ---

   3. En déduire que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$. Que peut-on en déduire graphiquement ?

      Pour tout réel x, $\left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x=x^2{\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^x$

      Or $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2{\mathrm{e}}^x=0$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ alors par somme $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_f$ au voisinage de $-\infty$.

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2. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $ℝ$, montrer que $f\prime =\left(x+1\right)\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x$.

      La fonction f définie pour tout réel x est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables u et v telles que :

      $u\left(x\right)=x^2+x+1$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x+1$.

      $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$ d'où $v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

      Par théorème $f\prime =u\prime v+uv\prime$.

      Donc $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& \left(2x+1\right){\mathrm{e}}^x+\left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(x^2+3x+2\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Or $\left(x+1\right)\left(x+2\right)=x^2+3x+2$.

      Ainsi pour tout réel x, $f\prime =\left(x+1\right)\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $f\prime =\left(x+1\right)\left(x+2\right){\mathrm{e}}^x$

      Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ alors le signe de $f\prime \left(x\right)$ dépend du signe du polynôme du second degré $\left(x+1\right)\left(x+2\right)$ dont les racines sont - 1 et - 2.

      Sur $]-\infty ;-2[\cup ]-1;+\infty [,f\prime \left(x\right)>0$ et sur $]-2;-1[,f\prime \left(x\right)<0$.

      ---

   3. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

      $f\left(-2\right)=3{\mathrm{e}}^{-2}$ et $f\left(-1\right)={\mathrm{e}}^{-1}$

      À partir du signe de la dérivée nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f

      x	– ∞		– 2		– 1		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	–	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	0		$3{\mathrm{e}}^{-2}$		${\mathrm{e}}^{-1}$		$+\infty$

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3. Déterminer le signe de f sur $ℝ$.

   Pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x$. Or ${\mathrm{e}}^x>0$ donc le signe de $f\left(x\right)$ dépend du signe du polynôme du second degré $x^2+x+1$.

   Le discriminant $\mathrm{\Delta }=1-4=-3$ et le coefficient de $x^2$ est positif alors, pour tout réel x, $x^2+x+1>0$.

   La fonction f est strictement positive sur $ℝ$.

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4. 1. Préciser les positions relatives de $C_f$ et de $C_{\exp }$.

      Les positions relatives de $C_f$ et de $C_{\exp }$ se déduisent de l'étude du signe de $f\left(x\right)-{\mathrm{e}}^x$.

      $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-{\mathrm{e}}^x& =& \left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(x^2+x\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& x\left(x+1\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

      Sur les intervalles $]-\infty ;-1[$ ou $]0;+\infty [$, $f\left(x\right)-{\mathrm{e}}^x>0$ alors la courbe $C_f$ est dessus de $C_{\exp }$.

      Sur l'intervalle $]-1;0[$, $f\left(x\right)-{\mathrm{e}}^x<0$ alors la courbe $C_f$ est dessous de $C_{\exp }$.

      Les courbes $C_f$ et $C_{\exp }$ se coupent aux points d'abscisse - 1 et 0.

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   2. Construire ces deux courbes dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

5. Soit F la fonction définie pour tout $x\in ℝ$ par : $F\left(x\right)=\left(x^2-x+2\right){\mathrm{e}}^x$.
   Prouver que F est une primitive de f sur $ℝ$.

   Dire que F est une primitive de f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   Or la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(x^2-x+2\right){\mathrm{e}}^x$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables u et v telles que :

   $u\left(x\right)=x^2-x+2$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x-1$.

   $v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x$ d'où $v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

   Par théorème $F\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Donc $$\begin{array}{lll}F\prime \left(x\right)& =& \left(2x-1\right){\mathrm{e}}^x+\left(x^2-x+2\right){\mathrm{e}}^x\\ & =& \left(x^2+x+1\right){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

   Ainsi pour pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

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6. 1. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm² du domaine D délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$.

      La fonction f est continue et positive sur $ℝ$ alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire : Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'aire en unités d'aire du domaine D délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      Or $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[F\left(x\right)]}_{-1}^0}\\ & =& {\displaystyle {[\left(x^2-x+2\right){\mathrm{e}}^x]}_{-1}^0}\\ & =& 2-4{\mathrm{e}}^{-1}\end{array}$$

      D'autre part, $C_f$ est la représentation graphiquede la fonction f dans le repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ d'unité graphique 2 cm sur chaque axe. L'unité d'aire est l'aire d'un carré de 2 cm de côté, donc l'unité d'aire est égale à 4 cm^2.

      L'aire du domaine D est égale à $8-16{\mathrm{e}}^{-1}$ cm^2.

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   2. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm² du domaine D' délimité par les courbes $C_f$ et $C_{\exp }$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=0$.

      Sur l'intervalle $[-1;0]$, la courbe $C_f$ est dessous de $C_{\exp }$ alors l'aire en unités d'aire du domaine D' est égale à l'intégrale $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-1}^0{\mathrm{e}}^x-f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_{-1}^0{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& {\displaystyle {\left[{\mathrm{e}}^x\right]}_{-1}^0}-\left(2-4{\mathrm{e}}^{-1}\right)\\ & =& \left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)-\left(2-4{\mathrm{e}}^{-1}\right)\\ & =& 3{\mathrm{e}}^{-1}-1\end{array}$$

      L'aire du domaine D' est égale à $12{\mathrm{e}}^{-1}-4$ cm^2.

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