Baccalauréat juin 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie pour tout x par : f(x)=(x2+x+1)ex.

Dans le repère orthonormal (O;𝚤,ȷ) d'unité graphique 2 cm sur chaque axe, on note Cf sa représentation graphique et Cexp la représentation graphique de la fonction exponentielle.

    1. Déterminer la limite de f en +.

    2. Donner les valeurs de limx-x2ex et de limx-xex.

      Croissances comprées au voisinage de - :

      Pour tout réel x et pour tout entier n strictement positif limx-xnex=0.

    3. En déduire que limx-f(x)=0. Que peut-on en déduire graphiquement ?

    1. On note f la fonction dérivée de f sur , montrer que f=(x+1)(x+2)ex.

      Développer (x+1)(x+2).

    2. Étudier le signe de f(x) sur .

    3. En déduire le tableau de variations de la fonction f.

  1. Déterminer le signe de f sur .

    1. Préciser les positions relatives de Cf et de Cexp.

      Les positions relatives de Cf et de Cexp se déduisent de l'étude du signe de f(x)-ex.

    2. Construire ces deux courbes dans le repère (O;𝚤,𝚥).

  2. Soit F la fonction définie pour tout x par : F(x)=(x2-x+2)ex.
    Prouver que F est une primitive de f sur .

    Dire que F est une primitive de f sur signifie que pour tout réel x, F(x)=f(x).

    1. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm2 du domaine D délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=-1 et x=0.

      Lien entre intégrale et Aire:

      Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;𝚤,ȷ) .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle [a;b],  f(x)0, alors abf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

    2. Déterminer la valeur exacte de l'aire en cm2 du domaine D' délimité par les courbes Cf et Cexp et les droites d'équations x=-1 et x=0.

      Sur l'intervalle [-1;0], la courbe Cf est dessous de Cexp.


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