La courbe ci-contre est la représentation graphique d'une fonction f définie, continue et dérivable sur .
On note sa fonction dérivée et F la primitive de f qui vérifie : .
On précise :
Pour chacune des huit affirmations, précisez sur votre copie si elle est vraie ou fausse ( aucune justification n'est demandée et il n'est pas nécessaire de recopier l'énoncé).
Barème : A chaque question est attribué 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribué à l'exercice est ramenée à zéro.
Pour tout , .
Sur l'intervalle la fonction f est décroissante d'où pour tout , .
L'affirmation 1 est fausse.
Le nombre dérivé en 2 de la fonction f est égal à .
Le nombre dérivé en 2 de la fonction f est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 2.
Or le coefficient directeur de la droite (AB) est :
L'affirmation 2 est fausse.
La fonction F présente un maximum en 2.
Dire que F est une primitive de f sur , signifie que pour tout réel , .
Donc le signe de f nous permet d'obtenir les variations de la primitive F sur .
x | 2 | ||||
Signe de f | + | − | |||
Variations de F |
Ainsi, la fonction F est croissante puis décroissante et présente un maximum en 2.
L'affirmation 3 est vraie.
L'aire de la partie du plan comprise entre , l'axe des abscisses, les droites d'équation et est égale (en unité d'aire) à .
Sur l'intervalle [ - 3; 1] , la courbe représentative de la fonction f est située au dessus de l'axe des abscisses, par conséquent l'aire de la partie du plan comprise entre , l'axe des abscisses, les droites d'équation et , exprimée en unités d'aire est : Voir le théorème.Soit a et b deux réels tels que a ⩽ b, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et sa courbe représentative dans un repère orthogonal .
Si, pour tout x de [a;b] ,
alors est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.
Or :
L'affirmation 4 est vraie.
.
L'affirmation 5 est vraie.
La fonction est définie sur .
La fonction inverse n'est pas définie en 0 car .
L'affirmation 6 est fausse.
La limite de la fonction en est .
et alors .
L'affirmation 7 est vraie.
La courbe représentative de la fonction présente une asymptote d'équation .
Dire que la droite d'équation est asymptote à la courbe équivaut à .
Or : et alors .
L'affirmation 8 est vraie.
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