sujet : Pondichery

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

• Affirmation 1

  Pour tout $x\in \left]-\infty ;2\right]$, $f\prime \left(x\right)⩾0$.

  Sur l'intervalle $\left]1;2\right]$ la fonction f est décroissante d'où pour tout $x\in \left]1;2\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

  L'affirmation 1 est fausse.

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• Affirmation 2

  Le nombre dérivé en 2 de la fonction f est égal à ${\mathrm{e}}^2$.

  Le nombre dérivé en 2 de la fonction f est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 2.

  Or le coefficient directeur de la droite (AB) est :

  ${\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-0}{1-2}}=-{\mathrm{e}}^2$

  L'affirmation 2 est fausse.

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• Affirmation 3

  La fonction F présente un maximum en 2.

  Dire que F est une primitive de f sur $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$, signifie que pour tout réel $x\in \left]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

  Donc le signe de f nous permet d'obtenir les variations de la primitive F sur $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$.

  x	$-\infty$		2		${\displaystyle \frac{5}{2}}$
  Signe de f		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
  Variations de F

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  Ainsi, la fonction F est croissante puis décroissante et présente un maximum en 2.

  L'affirmation 3 est vraie.

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• Affirmation 4

  L'aire de la partie du plan comprise entre ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=-3$ et $x=1$ est égale (en unité d'aire) à ${\displaystyle \frac{2{\mathrm{e}}^4-6}{{\mathrm{e}}^3}}$.

  Sur l'intervalle [ - 3; 1] , la courbe représentative de la fonction f est située au dessus de l'axe des abscisses, par conséquent l'aire de la partie du plan comprise entre ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=-3$ et $x=1$, exprimée en unités d'aire est : ${\displaystyle {\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ Voir le théorème.Soit a et b deux réels tels que a ⩽ b, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
  Si, pour tout x de [a;b]  $f\left(x\right)⩾0$,
  alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b.

  Or :$$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[F\left(x\right)]}_{-3}^1}\\ & =& F\left(1\right)-F\left(-3\right)\\ & =& 2\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{6}{{\mathrm{e}}^3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2{\mathrm{e}}^4-6}{{\mathrm{e}}^3}}\end{array}$$

  L'affirmation 4 est vraie.

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• Affirmation 5

  ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}=-2$.

  $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[f\left(x\right)]}_0^2}\\ & =& f\left(2\right)-f\left(0\right)\\ & =& 0-2\\ & =& -2\end{array}$$

  L'affirmation 5 est vraie.

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• Affirmation 6

  La fonction ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ est définie sur $\left]-\infty ;2\right]$.

  La fonction inverse n'est pas définie en 0 car $f\left(2\right)=0$.

  L'affirmation 6 est fausse.

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• Affirmation 7

  La limite de la fonction ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ en $-\infty$ est $+\infty$.

  $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=+\infty$.

  L'affirmation 7 est vraie.

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• Affirmation 8

  La courbe représentative de la fonction ${\displaystyle \frac{1}{f}}$ présente une asymptote d'équation $x=2$.

  Dire que la droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe équivaut à $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\infty$.

  Or : $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ alors $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=+\infty$.

  L'affirmation 8 est vraie.

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