sujet : La Réunion

correction de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

1. Construire un arbre pondéré décrivant les éventualités associées au choix d'un camion.

   L'entreprise de transports routiers dispose de 16 camions dont

   • 9 sont considérés comme « anciens » d'où $p\left(A\right)={\displaystyle \frac{9}{16}}$
   • 4 sont considérés comme « récents » d'où $p\left(R\right)={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$
   • 3 sont considérés comme « neufs » d'où $p\left(N\right)={\displaystyle \frac{3}{16}}$.

   D'autre part, la probabilité que :

   • un camion « ancien » ait une panne, est égale à 0,08 d'où $p_A\left(D\right)=\mathrm{0,08}$
   • un camion « récent » ait une panne, est égale à 0,05 d'où $p_R\left(D\right)=\mathrm{0,05}$
   • un camion « neuf » ait une panne, est égale à 0,0025 d'où $p_N\left(D\right)=\mathrm{0,0025}$.

   D'où l'arbre probabiliste ci-dessous :

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2. Calculer la probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne (on donnera, pour cette question et les deux suivantes, à chaque fois une valeur approchée du résultat arrondie à 10^-4 près).

   $$\begin{array}{lll}p\left(R\cap D\right)& =& p_R\left(D\right)\times p\left(R\right)\\ & =& \mathrm{0,05}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & =& \mathrm{0,0125}\end{array}$$

   La probabilité que le camion choisi soit récent et ait une panne est égale à 0,0125.

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3. Calculer la probabilité que le camion choisi ait une panne.

   A, R et N forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(A\cap D\right)+p\left(R\cap D\right)+p\left(N\cap D\right)$$

   Or $$\begin{array}{lllllll}p\left(A\cap D\right)& =& p_A\left(D\right)\times p\left(A\right)& \text{ et }& p\left(N\cap D\right)& =& p_N\left(D\right)\times p\left(N\right)\\ & =& \mathrm{0,08}\times {\displaystyle \frac{9}{16}}& & & =& \mathrm{0,0025}\times {\displaystyle \frac{3}{16}}\\ & =& \mathrm{0,045}& & & =& \mathrm{0,00046875}\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{lll}p\left(D\right)& =& \mathrm{0,045}+\mathrm{0,0125}+\mathrm{0,00046875}\\ & =& \mathrm{0,05796875}\end{array}$$

   Arrondie à 10^-4 près la probabilité que le camion choisi ait une panne est égale à 0,058.

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4. Calculer la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $p_{\overline{D}}\left(N\right)={\displaystyle \frac{p\left(N\cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)}}$

   • Calculons $p\left(N\cap \overline{D}\right)$ à l'aide de l'arbre pondéré précédent :

     $$\begin{array}{lll}p\left(N\cap \overline{D}\right)& =& p_N\left(\overline{D}\right)\times p\left(N\right)\end{array}$$

     Or $$\begin{array}{lll}{p}_N\left(\overline{D}\right)& =& 1-p_N\left(D\right)\end{array}$$

     D'où $$\begin{array}{lll}p\left(N\cap \overline{D}\right)& =& \left(1-p_N\left(D\right)\right)\times p\left(N\right)\\ & =& \left(1-\mathrm{0,0025}\right)\times {\displaystyle \frac{3}{16}}\\ & =& \mathrm{0,18703125}\end{array}$$

   • D'autre part, $p\left(\overline{D}\right)=1-p\left(D\right)=1-\mathrm{0,058}=\mathrm{0,942}$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{D}}\left(N\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(N\cap \overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,18703125}}{\mathrm{0,942}}}\end{array}$$

   Arrondie à 10^-4 près la probabilité que le camion soit neuf sachant qu'il n'a pas de panne est égale à 0,1985.

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partie b

Il y a 3 camions neufs et chaque camion neuf ayant de façon indépendante une probabilité d'indisponibilité de 0,01, la loi de probabilité associée au nombre de camions neufs indisponibles un jour donné est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,01.

Notons I l'évènement "un camion neuf est indisponible".
La réalisation de trois expériences aléatoires successives et indépendantes les unes des autres peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

1. La probabilité de l'évènement T : "tous les camions « neufs» sont indisponibles" est : ${\left(\mathrm{0,01}\right)}^3=\mathrm{0,000001}$

   Arrondie au millième la probabilité de l'évènement T est égale à 0.

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2. L'évènement M : "un camion « neuf » au moins est indisponible" est l'évènement contraire de l'évènement "tous les camions « neufs » sont disponibles"

   D'où la probabilité de l'évènement M est : $1-{\left(\mathrm{0,99}\right)}^3=\mathrm{0,029701}$

   Arrondie au millième la probabilité de l'évènement M est égale à 0,03.

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3. Sur l'arbre précédent il y trois issues correspondant à l'évènement S : "deux camions « neufs » exactement sont disponibles".

   D'où la probabilité de l'évènement S est : $3\times {\left(\mathrm{0,99}\right)}^2\times \mathrm{0,01}=\mathrm{0,029403}$

   Arrondie au millième la probabilité de l'évènement S est égale à 0,029.

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