sujet : La Réunion

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par :

$u_1=12$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_n+5$ pour tout entier naturel $n⩾1$.

1. Utiliser les droites d'équations $y=x$ et $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+5$ pour construire les quatre premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. (Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe ci-dessous).
   Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   Pour obtenir la représentation des termes de la suite :

   • Placer le terme initial $u_1$ sur l'axe des abscisses.
   • Comme $u_2={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_1+5$, $u_2$ est l'ordonnée du point de la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{3}}x+5$ d'abscisse 12.
   • À l'aide de la droite d'équation $y=x$ on rabat l'ordonnée $u_2$ sur l'axe des abscisses.
   • Pousuivre le procédé pour représenter les termes $u_3$ et $u_4$.

2. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n⩾1$, par $v_n=u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}$

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

      DÉFINITION :

      Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

   2. Exprimer alors $v_n$ en fonction de n.

      Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison q, alors, $u_n=u_0\times q^n$.

   3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$ puis en déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

      Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction f définie sur $[1;+\infty [$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{x-1}$.

3. Est-il possible de déterminer n de sorte que :

   1. $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩽{10}^{-6}$ ?

   2. $u_n-{\displaystyle \frac{15}{2}}⩾{10}^6$ ?

      Utiliser la monotonie de la suite $\left(v_n\right)$

ANNEXE

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