sujet : La Réunion

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Lors de sa création au 1^er janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. À la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.
Pour tout nombre entier naturel n, on appelle $a_n$ le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, n années après la création du club. On a donc $a_0=3$.
On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,75}{a}_n+\mathrm{1,2}$.

partie a : Étude graphique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Dans le repère ci-dessous, on a représenté la droite D d'équation $y=\mathrm{0,75}x+\mathrm{1,2}$ et la droite Δ d'équation $y=x$ pour les abscisses comprises entre 0 et 6.

1. Placer $a_0$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites D et Δ, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_1,a_2,a_3,a_4$ (laisser apparents les traits de construction).

   Pour obtenir la représentation des termes de la suite :

   • Placer le terme initial $a_0=3$ sur l'axe des abscisses.
   • Comme $a_1=\mathrm{0,75}\times a_0+\mathrm{1,2}$, $a_1$ est l'ordonnée du point de la droite D d'équation $y=\mathrm{0,75}x+\mathrm{1,2}$ d'abscisse 3.
   • À l'aide de la droite Δ d'équation $y=x$ on rabat l'ordonnée $a_1=\mathrm{3,45}$ sur l'axe des abscisses.
   • Pousuivre le procédé pour représenter les termes $a_2\text{, }{a}_3\text{ et }{a}_4$.

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2. Quelle semble être la limite de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

   La suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des droites D et Δ.
   Notons $𝓁$ la limite éventuelle de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ quand n tend vers $+\infty$ alors $𝓁$ est solution de l'équation : $$\begin{array}{lll}𝓁=\mathrm{0,75}𝓁+\mathrm{1,2}& \iff & \mathrm{0,25}𝓁=\mathrm{1,2}\\ & \iff & 𝓁={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{0,25}}}=\mathrm{4,8}\end{array}$$

   Si, la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ admet une limite finie quand n tend vers $+\infty$ alors cette limite est égale à 4,8.

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partie b : Étude numérique de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $u_n=a_n-\mathrm{4,8}$ pour tout nombre entier naturel n.

1. 1. Calculer $u_0$.

      $u_0=a_0-\mathrm{4,8}$ soit $u_0=3-\mathrm{4,8}=-\mathrm{1,8}$

      Ainsi, $u_0=-\mathrm{1,8}$

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   2. Démontrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75.

      Montrons que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n$ . (Voir la définition d'une suite géométrique.)Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}& =& a_{n+1}-\mathrm{4,8}\\ & =& \left(\mathrm{0,75}{a}_n+\mathrm{1,2}\right)-\mathrm{4,8}\\ & =& \mathrm{0,75}{a}_n-\mathrm{3,6}\\ & =& \mathrm{0,75}\left(a_n-\mathrm{4,8}\right)\\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n\end{array}$$

      Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n$ alors la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75.

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   3. En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $a_n=\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$.

      La suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison 0,75. Or, d'après la propriété des suites géométriques : Si ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison q, de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier n : $$u_n=u_0\times q^n$$ et, plus généralement, pour tout entier $n⩾p$ : $u_n=u_p{u}^{n-p}$ avec $p\in \mathbb{N}$.

      Pour tout entier naturel n, $u_n=u_0\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$ soit, $u_n=-\mathrm{1,8}\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$.

      D'où $a_n-\mathrm{4,8}=-\mathrm{1,8}\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$.

      Donc pour tout nombre entier naturel n, $a_n=\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\left(\mathrm{0,75}\right)}^n$.

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   4. Déterminer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$.

      $\mathrm{0,75}<1$ donc, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,75}}^n=0$. Par conséquent, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^n=\mathrm{4,8}$.

2. Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année ? Pourquoi ?

   Étudions la monotonie de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$.

   Pour tout entier naturel n,$$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}-a_n& =& \left(\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^{n+1}\right)-\left(\mathrm{4,8}-\mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^n\right)\\ & =& \mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^n-\mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^{n+1}\\ & =& \mathrm{1,8}\times {\mathrm{0,75}}^n\left(1-\mathrm{0,75}\right)\\ & =& \mathrm{0,45}\times {\mathrm{0,75}}^n\end{array}$$

   Ainsi, Pour tout entier naturel n, $a_{n+1}-a_n>0$ donc la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est strictement croissante.

   La suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est croissante et convergente, alors elle est majorée par sa limite.

   Donc pour tout entier naturel n, $a_n⩽\mathrm{4,8}$.

   Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le nombre d'adhérents du club ne dépassera pas 480.

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