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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Baccalauréat 2006 \\ Série ES}}} %droit
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\lfoot{La Réunion septembre 2006}
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 

\begin{document}

\exo \qquad (3 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Cocher cette réponse sur la feuille à rendre avec la copie.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.  Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}

\begin{enumerate}
\item  Augmenter une quantité de 8\,\%, puis la diminuer de 8\,\% c'est :

\begin{itemize}
\item[$\square$] revenir à la quantité initiale
\item[$\square$] augmenter la quantité initiale de 0,64\,\%
\item[$\square$] diminuer la quantité initiale de 0,64\,\% 
\end{itemize}

\item Le relevé des ventes de chaussures d'homme dans un magasin, en fonction des pointures, est le suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Pointure&	40&	41&	42	&43	&44&	45&	46\\ \hline
Nombre de paires vendues &	10 & 12 & 15 & 13 & 5 & 5 & 1 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La médiane de cette série est égale à :

\begin{itemize}
\item[$\square$] 13
\item[$\square$] 42
\item[$\square$] 43
\end{itemize}

\item Pour tout nombre réel $a$ strictement positif, le nombre $\ln\left(a^2 + 3a\right)$ est égal à :

\begin{itemize}
\item[$\square$] $\ln\left(a^2\right) + 3\ln(a)$
\item[$\square$] $\ln (a) + \ln\left(a + 3\right)$
\item[$\square$] 4$2\ln (a) + \ln (3a)$
\end{itemize}
	
\end{enumerate} 
 
\pagebreak

\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On étudie l'évolution de la population d'une ville au cours du temps. Le tableau suivant donne le nombre d'habitants au 1\up{er} janvier de chaque année (exprimé en milliers).

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année			&2000	& 2001	&2002	&2003	&2004	&	2005\\ \hline
Nombre	 d'habitants&10,5		&11,5	&12,9	&14,5	&15,4	&	16,9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'accroissement relatif de la population du 1\up{er} janvier 2000 au 1\up{er} janvier 2005
(donner la valeur décimale arrondie au centième).
\item  Si le taux d'augmentation de cette population d'une année à l'autre du 1\up{er} janvier 2000 au 1\up{er}  janvier 2005 avait été fixe et égal à 10\,\%,  quel résultat aurait-on obtenu pour la population le 1\up{er} janvier 2005 à partir du nombre d'habitants au 1\up{er} janvier 2000 ? (donner la valeur décimale arrondie au dixième)
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On modélise de façon continue l'évolution de cette population (exprimée en milliers d'habitants) pour une période de 8 années en utilisant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; 8]$ par $f (x) = 10,5 \times (1,1)^x$.

Le nombre réel $x$, exprimé en années, représente le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000 ; ainsi le nombre $f(0) = 10,5$ représente le nombre d'habitants (en milliers) au 1\up{er} janvier 2000 (c'est-à-dire la population initiale).
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le nombre $f(6,5)$, c'est-à-dire le nombre d'habitants (en milliers), que l'on peut prévoir en utilisant ce modèle pour le 1\up{er} juillet 2006 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
		\item  En utilisant ce modèle quel nombre d'habitants (en milliers) peut-on prévoir au 1\up{er} janvier 2007 (donner la valeur décimale arrondie au dixième) ?
	\end{enumerate}
\item  Sur l'annexe ci dessous, à rendre avec la copie, on a tracé la représentation graphique $(\Gamma)$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Utiliser le graphique (laisser apparents les traits de construction) pour donner le nombre d'habitants (en milliers) au 1\up{er} octobre 2003.
\item  On cherche à évaluer le temps minimum $t$ écoulé depuis le 1\up{er} janvier 2000, nécessaire pour que la population initiale double. 
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du graphique et en laissant apparents les traits de construction, donner une valeur approchée de $t$ exprimée en années et en trimestres. 
		\item Déterminer $t$ par le calcul (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} Rappel de définitions \end{center}
On désigne par $y_{1}$ et $y_{2}$ des nombres réels strictement positifs $y_{2} > y_{1}$.
\begin{itemize}
\item[] L'accroissement absolu de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à $y_{2} - y_{1}$.
\item[] L'accroissement relatif de $y_{1}$ à $y_{2}$ est égal à  $\dfrac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}}$.
\end{itemize}

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}

\medskip
\psset{unit=.4cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(34,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{10.5*1.1^x-10}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(34,15)
\psset{unit=1.6cm,yunit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Oy=10,Dy=5]{->}(0,0)(-.1,-.2)(8.5,15)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8.5,0){$x$} \uput[dl](0,15){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\uput[ur](8,12.3){\bleu $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

\setcounter{nexo}{1}
\exo \qquad ( 5 \textit{points} ) \hfill \emph{ Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Lors de sa création au 1\up{er} janvier 2000, un club de sport a 300 adhérents. \`A la fin de la première année, trois quarts des adhérents se réinscrivent et 120 nouveaux membres adhèrent.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on appelle $a_{n}$ le nombre d'adhérents du club, exprimé en centaines, $n$ années après la création du club.

On a donc $a_{0} = 3$. On suppose que le nombre d'adhérents au club évolue de la même façon les années suivantes. Ainsi, pour tout nombre entier naturel $n$, $
  a_{n+1} = 0,75a_{n} + 1,2$.

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc{partie a :} \'Etude graphique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$}}

\medskip

Dans le repère donné en  annexe, à rendre avec la copie, on a représenté la droite $D$ d'équation $y = 0, 75x + 1,2$ et la droite $\Delta$ d'équation $y =  x$  pour les abscisses comprises entre 0 et 6.
\begin{enumerate}
\item Placer $a_{0}$ sur l'axe des abscisses et, en utilisant les droites $D$ et $\Delta$, placer sur l'axe des abscisses les valeurs $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ \; (\emph{laisser apparents les traits de construction}).
\item  Quelle semble être la limite de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ ?
\end{enumerate}

 \medskip
	
\textbf{\textsf {\textsc{partie b :} \'Etude numérique de la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $u_{n} = a_{n} -  4,8$ pour tout nombre entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{0}$.
\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison 0,75.
\item  En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n,~ a_{n} =  4,8 -1,8 \times (0, 75)^n$.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n}$.
 \end{enumerate}
\item Si l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit selon ce modèle, le club peut-il avoir 500 adhérents durant une année ? Pourquoi?

\end{enumerate}
 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.4,-.5)(13,14.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(6.3,14){\textsf {\textbf{\textsc{annexe}}}} 
\rput(6.3,13.5){\textsf {\textbf{\`A rendre avec la copie}}} 
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,gridlabels=0](0,0)(13,13)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(6.5,6.5)
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](0,6.4){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,1.2)(6,5.7)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(6,6)
\uput[ur](6,6){\prune $\Delta$} \uput[ur](6,5.7){\bleu $D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

 \exo \qquad ( 4 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à une population de \np{135000} personnes abonnées à un fournisseur d'accès à Internet. Il existe deux fournisseurs A et B. Toute personne est abonnée à un seul de ces fournisseurs. 

On sait qu'un tiers des personnes de cette population est abonné au fournisseur A. Par ailleurs, 60\,\% des personnes abonnées au fournisseur A accèdent à Internet par le haut débit, et 51\,\% des personnes abonnées au fournisseur B accèdent à Internet par le haut débit.

On choisit une personne au hasard dans cette population, et on admet que la probabilité d'un évènement est assimilée à la fréquence correspondante.

On note :

\begin{itemize}
\item[] $A$, l'évènement : \og la personne choisie est abonnée au fournisseur A \fg 
\item[] $B$, l'évènement : \og la personne choisie est abonnée au fournisseur B \fg 
\item[] $H$, l'évènement : \og la personne choisie accède à Internet par le haut débit \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Décrire cette situation aléatoire par un arbre pondéré.
\item  Montrer que la probabilité de l'évènement \og la personne est abonnée au fournisseur A et accède à Internet par le haut débit \fg{} est égale à 0,20.
\item  Montrer que la probabilité de l'évènement $H$ : \og la personne accède à Internet par le haut débit \fg{} est égale à 0,54.
\item  Calculer $p_{H}(A)$, probabilité de $A$ sachant $H$, puis en donner la valeur décimale arrondie au centième.
\item On choisit au hasard trois personnes dans cette population. On admet que le nombre de personnes est suffisamment grand pour assimiler le choix des trois personnes à des tirages successifs indépendants avec remise. 

Calculer la probabilité de l'évènement \og exactement deux des personnes choisies accèdent à Internet par le haut débit \fg. On en donnera la valeur décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}
 
\pagebreak

 \exo \qquad ( 8 \textit{points} ) \hfill \emph{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0  ; +\infty[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $[0 ;  +\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

On sait que :

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est strictement croissante sur  l'intervalle $[0 ; 2]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[2 ;  +\infty[$. 
\item La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O, $A$ et $B$.
\item Le point $A$ a pour coordonnées $(1 ; 1)$ ; la droite $(\mathrm{O}A)$ est tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A$.
\item Le point $B$ a pour coordonnées $\left(2 ; \dfrac{4}{\e}\right)$. Au point $B$, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
\item L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
\end{itemize}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(32,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2*EXP(1-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(32,8)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-.25)(8,2)
\psaxes[labels=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}\uput[d](0.5,0){\red $\vec{i}$}  \uput[l](0,0.5){\red $\vec{j}$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{8}{\f}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](1,1){\bleu $A$} \uput[u](2,1.471){\bleu $B$} \uput[u](5,0.5){\bleu $(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$, puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).
		\item Montrer que, dans l'intervalle $[0  ;  +\infty[$, l'équation $f(x)= 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre 1 ; l'autre solution est notée $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item
 On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $g(x) = \ln[f(x)]$.
 
Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsf {\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par : 
\[f(x) = x^2 \times \e^{-x+1}\]

\begin{enumerate}
\item  On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ 	par $g(x) = \ln [f(x)]$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$, $g(x) = -x + 1 + 2 \ln  x$.
		\item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, on note $g'$ sa fonction dérivée.
		
Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$.

Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit la fonction dérivable $h$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $h(x) =  \left(x^2 + 2x + 2\right) \e^{-x+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item  On note $h'$  la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$. Calculer $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$, $f(x) =  - h'(x)$.

En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 2$. Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}