1. A et B sont deux évènements indépendants tels que $p\left(A\right)=\mathrm{0,7}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,2}$.

Dire que les évènements A et B de probabilités non nulles, sont indépendants signifie que : $$p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$$ Soit $$p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,7}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,14}$$

• $p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,14}$

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• $p\left(A\cup B\right)=\mathrm{0,9}$

• $p_A\left(B\right)=\mathrm{0,5}$

2. Une pièce de monnaie est telle que la probabilité d'obtenir le côté face est égale à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.
On lance 4 fois de suite cette pièce.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face ?

L'évènement «obtenir au moins une fois le côté face» est l'évènement contraire de l'évènement «obtenir quatre fois le côté pile»

Or la probabilité d'obtenir successivement et de manière indépendante quatre fois le côté pile est égale à ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4={\displaystyle \frac{16}{81}}$

Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins une fois le côté face est égale à : $$1-{\displaystyle \frac{16}{81}}={\displaystyle \frac{65}{81}}$$

• ${\displaystyle \frac{18}{81}}$

• ${\displaystyle \frac{72}{81}}$

• ${\displaystyle \frac{65}{81}}$

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3. On considère l'arbre pondéré ci-dessous. Quelle est la probabilité de $p_H\left(F\right)$ ?

$p_H\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap H\right)}{p\left(H\right)}}$ . Pour calculer $p\left(H\right)$ et $p\left(F\cap H\right)$, nous sommes conduits à compléter l'arbre à l'aide de la règle des nœuds.Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.

$$\begin{array}{lllllll}p\left(F\cap H\right)& =& p_F\left(H\right)\times p\left(F\right)& \text{et}& p\left(E\cap H\right)& =& p_E\left(H\right)\times p\left(E\right)\\ & =& \mathrm{0,7}\times \mathrm{0,8}& & & =& \mathrm{0,4}\times \mathrm{0,2}\\ & =& \mathrm{0,56}& & & =& \mathrm{0,08}\end{array}$$

Les évènements E et F sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{lll}p\left(H\right)& =& p\left(E\cap H\right)+p\left(F\cap H\right)\\ & =& \mathrm{0,08}+\mathrm{0,56}\\ & =& \mathrm{0,64}\end{array}$$

Par conséquent , $$p_H\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap H\right)}{p\left(H\right)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,56}}{\mathrm{0,64}}}=\mathrm{0,875}$$

• $p_H\left(F\right)=\mathrm{0,7}$

• $p_H\left(F\right)=\mathrm{0,56}$

• $p_H\left(F\right)=\mathrm{0,875}$

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4. Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On tire, avec remise, une boule au hasard, n fois de suite (avec $n>1$).
Quelle est la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur ?

L'évènement «obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur» est l'évènement contraire de l'évènement «obtenir n boules de la même couleur»

Obtenir n boules de la même couleur c'est obtenir n boules noires ou n boules blanches.

L'urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires alors la probabilité de tirer une boule noire est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et la probabilité de tirer une boule blanche est aussi égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

On tire, avec remise, une boule au hasard, n fois de suite alors la probabilité de tirer n boules noires est égale à ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$ et la probabilité de tirer n boules blanches est égale à ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$.

Les évènements N «tirer n boules noires» et B «tirer n boules blanches» sont disjoints donc $$\begin{array}{lll}p\left(N\cup B\right)& =& p\left(N\right)+p\left(B\right)\\ & =& {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2^n}}+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{2^n}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}\end{array}$$

Donc la probabilité d'obtenir des boules qui ne soient pas toutes de la même couleur est : $$p\left(\overline{N\cup B}\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$$

• $1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$

• $1-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$

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• $1-{\displaystyle \frac{1}{2^{2n}}}$