sujet : amérique du nord

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Étude d'un modèle affine

   1. Construire le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ avec i compris entre 1 et 8, associé à cette série statistique double. On prendra comme unité graphique 1 cm pour dix ans en abscisse et 1 cm pour un dixième de secondes en ordonnées.
      On commencera les graduations au point de coordonnées $\left(0;9\right)$.

   2. Peut-on envisager un ajustement affine à court terme ? Cet ajustement permet-il des prévisions pertinentes à long terme sur les records futurs ?

      La forme du nuage de points peut laisser penser qu'un ajustement affine peut être envisagé pour une prévision à court terme.

      Par contre, à long terme un ajustement affine à l'aide d'une droite dont le coefficient directeur est négatif n'est pas pertinent. Un record de 0 seconde est absurde.

2. Étude d'un modèle exponentiel

   Après étude, on choisit de modéliser la situation par une autre courbe.
   On effectue les changements de variables suivants : $$\begin{array}{ccc}X={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}x}& \text{et}& Y=\ln y\end{array}$$ On obtient le tableau suivant :

   $X_i={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}{x}_i}$	1	0,895	0,824	0,758	0,554	0,464	0,431	0,401
   $Y_i=\ln y_i$	2,380	2,361	2,342	2,332	2,309	2,296	2,288	2,281

   1. Donner une équation de la droite de régression de Y en X obtenue par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite de régression de Y en X obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis à 10⁻³) est : $Y=\mathrm{0,154}X+\mathrm{2,221}$

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   2. En déduire que l'on peut modéliser une expression de y en fonction de x sous la forme suivante : $y=\exp \left(a{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}x}+b\right)$ où a et b sont deux réels à déterminer.

      Par définition, pour tout réel $y>0$, $Y=\ln y\iff y=\exp Y$ d'où $$\begin{array}{lll}Y=\mathrm{0,154}X+\mathrm{2,221}& \iff & y=\exp \left(\mathrm{0,154}X+\mathrm{2,221}\right)\end{array}$$

      Comme $X={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}x}$, on obtient donc :

      $y=\exp \left(\mathrm{0,154}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}x}+\mathrm{2,221}\right)$

      ---

   3. À l'aide de cet ajustement, quel record du 100 mètres peut-on prévoir en 2010 ?

      Le rang de l'année 2010 est 110 d'où une estimation à l'aide de cet ajustement de : $$\begin{array}{lll}y& =& \exp \left(\mathrm{0,154}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}\times 110}+\mathrm{2,221}\right)\\ & \approx & \mathrm{9,7448}\end{array}$$

      À l'aide de cet ajustement, on peut peut prévoir un record du 100 mètres de 9,745 secondes en 2010.

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   4. Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction f définie sur $ℝ$ par l'expression suivante : $f\left(t\right)=\exp \left(\mathrm{0,154}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}t}+\mathrm{2,221}\right)$.

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,00924}t=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ donc $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}t}=0$

      Par conséquent, $$\underset{t\to +\infty }{\lim }\exp \left(\mathrm{0,154}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,00924}t}+\mathrm{2,221}\right)=\exp \left(\mathrm{2,221}\right)$$

      Donc $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=\exp \left(\mathrm{2,221}\right)$

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   5. Que peut-on en conclure, en utilisant ce modèle, quant aux records du cent mètres masculin, à très long terme ?

      L'arrondi à 10⁻³ près de $\exp \left(\mathrm{2,221}\right)$ est égal à 9,217.

      En utilisant ce modèle, on peut conclure qu'à très long terme, le record du 100 mètres masculin sera proche de 9,217 secondes.

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