sujet : amérique du nord

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

PREMIÈRE PARTIE

On considère une fonction g définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=-x^2+ax-\ln \left(2x+b\right)$, où a et b sont deux réels.

Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ passe par l'origine du repère et admette une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

• La courbe représentative de g passe par l'origine du repère équivaut à $g\left(0\right)=0$.
• La courbe représentative de g admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ équivaut à $g\prime \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$

DEUXIÈME PARTIE

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $$f\left(x\right)=-x^2+2x-\ln \left(2x+1\right)$$ On admet quef est dérivable et on note $f\prime$ sa dérivée.

Le tableau de variation de la fonction f est le suivant :

x	$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$				0		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
Signe de $f\prime \left(x\right)$				−	0	+	0	−
Variations de f			$+\infty$		0		${\displaystyle \frac{3}{4}}+\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$		$-\infty$

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1. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.

   • Étudier les limites en $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et en $+\infty$ de la fonction f.
   • Étudier le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction f.
   • Calculer $f\left(0\right)$ et $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

2. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right]$.

      Utiliser le théorème de la valeur intermédiaire.

   2. Donner un encadrement de α d'amplitude 10^{− 2}.

3. Déterminer le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$.

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